Trois affirmations à démolir

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Implication et contre-exemple

Énoncé

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Donner un contre-exemple pour chacune et vérifier qu'il convient. (a) « tout nombre entier est positif » ; (b) « la somme de deux nombres impairs est impaire » ; (c) « pour tout réel $x$ , $x^{2} = 2 x$ ».

Corrigé

(a) Prenons $n = - 4$ . C'est bien un entier (il appartient à $Z$ ), et $- 4 < 0$ : il n'est pas positif. L'affirmation confond $Z$ et $N$ .

(b) Prenons $3$ et $5$ , qui sont deux nombres impairs. Leur somme vaut $3 + 5 = 8$ , qui est pair ( $8 = 2 \times 4$ ). L'affirmation est donc fausse ; la règle correcte est : la somme de deux impairs est paire.

(c) Prenons $x = 3$ . Alors $x^{2} = 9 et 2 x = 6.$ Comme $9 \neq = 6$ , l'égalité est fausse. (Elle n'est vraie que pour $x = 0$ et $x = 2$ , ce qui ne suffit évidemment pas pour un « pour tout réel ».)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.