Trois entiers consécutifs, un multiple de trois

Vocabulaire ensembliste et logique · Types de raisonnement · niveau 2

Énoncé

Tout entier $n$ s'écrit sous l'une des trois formes $3 k$ , $3 k + 1$ ou $3 k + 2$ , où $k$ désigne un entier — selon le reste de sa division par $3$ . En distinguant ces trois cas, démontrer que le produit $n (n + 1) (n + 2)$ est un multiple de $3$ , quel que soit l'entier $n$ .

Corrigé

Les trois formes annoncées recouvrent tous les entiers : on peut donc raisonner par disjonction des cas.

Premier cas : $n = 3 k$ . Le premier facteur est déjà un multiple de $3$ : $n (n + 1) (n + 2) = 3 k (n + 1) (n + 2) = 3 \times [k (n + 1) (n + 2)] .$ Le crochet est un entier (produit d'entiers), donc le produit est un multiple de $3$ .

Deuxième cas : $n = 3 k + 1$ . C'est alors le troisième facteur qui est un multiple de $3$ : $n + 2 = 3 k + 1 + 2 = 3 k + 3 = 3 (k + 1),$ d'où $n (n + 1) (n + 2) = n (n + 1) \times 3 (k + 1) = 3 \times [n (n + 1) (k + 1)] .$ Le produit est encore un multiple de $3$ .

Troisième cas : $n = 3 k + 2$ . C'est cette fois le deuxième facteur : $n + 1 = 3 k + 2 + 1 = 3 k + 3 = 3 (k + 1),$ d'où $n (n + 1) (n + 2) = n \times 3 (k + 1) \times (n + 2) = 3 \times [n (k + 1) (n + 2)] .$

Conclusion. Dans chacun des trois cas, $n (n + 1) (n + 2)$ s'écrit $3 \times (un entier)$ : c'est un multiple de $3$ pour tout entier $n$ . Autrement dit, parmi trois entiers consécutifs, il y en a toujours un — et un seul — qui est multiple de $3$ ; c'est lui qui donne le facteur $3$ au produit.

Vérification sur trois valeurs : $n = 4$ donne $4 \times 5 \times 6 = 120 = 3 \times 40$ ; $n = 5$ donne $5 \times 6 \times 7 = 210 = 3 \times 70$ ; $n = 7$ donne $7 \times 8 \times 9 = 504 = 3 \times 168$ .