Une équivalence démontrée dans les deux sens

Une équivalence se démontre en établissant deux implications.

Sens direct : si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair. Supposons $n$ impair. Par définition, il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$. Alors $$n+1=2k+1+1=2k+2=2(k+1).$$ Comme $k+1$ est un entier, $n+1$ s'écrit sous la forme $2\times (\text{entier})$ : il est pair.

Sens réciproque : si $n+1$ est pair, alors $n$ est impair. Supposons $n+1$ pair. Il existe alors un entier $m$ tel que $n+1=2m$. Donc $$n=2m-1=2m-2+1=2(m-1)+1.$$ Comme $m-1$ est un entier, $n$ s'écrit sous la forme $2\times (\text{entier})+1$ : il est impair.

Conclusion. Les deux implications étant établies, l'équivalence est démontrée.

Contrôle sur un exemple. Pour $n=7$ (impair), $n+1=8=2\times 4$ est pair. Pour $n=10$ (pair), $n+1=11$ est impair : l'équivalence n'est pas prise en défaut.