Une implication démontrée par sa contraposée

Vocabulaire ensembliste et logique · Types de raisonnement · niveau 2

Énoncé

Soit $n$ un entier. On considère la proposition : « si $5 n + 3$ est pair, alors $n$ est impair ».

Énoncer la contraposée de cette implication.
Démontrer cette contraposée.
Conclure. La réciproque de l'implication de départ est-elle vraie ?

Corrigé

1. L'implication est « $P \Rightarrow Q$ » avec $P$ : « $5 n + 3$ est pair » et $Q$ : « $n$ est impair ». Sa contraposée est « (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ) », c'est-à-dire : « si $n$ est pair, alors $5 n + 3$ est impair ».
2. Supposons $n$ pair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2 k$ . Alors $5 n + 3 = 5 \times 2 k + 3 = 10 k + 3 = 2 \times (5 k + 1) + 1.$ Comme $5 k + 1$ est un entier, $5 n + 3$ s'écrit sous la forme $2 m + 1$ : il est impair. La contraposée est démontrée.
3. Une implication et sa contraposée sont vraies en même temps : l'implication de départ « si $5 n + 3$ est pair, alors $n$ est impair » est donc vraie.

Sa réciproque est « si $n$ est impair, alors $5 n + 3$ est pair ». Elle est également vraie : si $n = 2 k + 1$ , alors $5 n + 3 = 5 (2 k + 1) + 3 = 10 k + 8 = 2 (5 k + 4),$ qui est pair. Les deux implications étant vraies, on a en fait l'équivalence : $5 n + 3$ est pair si et seulement si $n$ est impair.

Vérification : $n = 3$ (impair) donne $5 \times 3 + 3 = 18$ , pair ; $n = 6$ (pair) donne $5 \times 6 + 3 = 33$ , impair.