Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 10 — Information chiffrée et statistique descriptive · Écart type et robustesse des indicateurs

Énoncé

Les températures relevées pendant six jours, en degrés Celsius, sont $12; 15; 15; 18; 20; 22.$

Calculer la moyenne et l'écart type de cette série (arrondi au centième).
On convertit chaque relevé en degrés Fahrenheit par $F = 1, 8 C + 32$ . Donner la moyenne et l'écart type de la nouvelle série sans tout recalculer, en justifiant.

Corrigé

1. La moyenne en degrés Celsius. $C ˉ = \frac{12 + 15 + 15 + 18 + 20 + 22}{6} = \frac{102}{6} = 17.$

L'écart type. Les écarts à la moyenne sont $- 5, - 2, - 2, 1, 3, 5,$ d'où la variance $V = \frac{25 + 4 + 4 + 1 + 9 + 25}{6} = \frac{68}{6} = \frac{34}{3} \approx 11, 33,$ et $σ_{C} = \frac{34}{3} \approx 3, 37 °C .$

2. L'effet de la transformation affine. Notons $F_{i} = 1, 8 C_{i} + 32$ .

La moyenne suit la même transformation. En effet, la somme des $F_{i}$ vaut $1, 8 \times (somme des C_{i}) + 6 \times 32$ ; en divisant par $6$ : $F ˉ = 1, 8 C ˉ + 32 = 1, 8 \times 17 + 32 = 30, 6 + 32 = 62, 6 °F .$

L'écart type ne subit que le facteur multiplicatif. En effet, l'écart d'une valeur à la moyenne devient $F_{i} - F ˉ = (1, 8 C_{i} + 32) - (1, 8 C ˉ + 32) = 1, 8 (C_{i} - C ˉ) :$ l'ajout de $32$ disparaît, car il décale les valeurs et la moyenne de la même quantité. Chaque écart est donc multiplié par $1, 8$ , chaque carré par $1, 8^{2} = 3, 24$ , et la variance aussi. Donc $σ_{F} = 1, 8 \times σ_{C} \approx 1, 8 \times 3, 3665 \approx 6, 06 °F .$

Ce qu'il faut retenir. Une translation ( $+ 32$ ) déplace la moyenne mais ne change pas la dispersion ; une dilatation ( $\times 1, 8$ ) multiplie moyenne et écart type par le même facteur.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.