Information chiffrée et statistique descriptive

Cours · mathématiques (seconde), chapitre 10 · seconde générale · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une boîte à moustaches : minimum, premier quartile, médiane, troisième quartile, maximum.

Ce chapitre a deux volets. L'information chiffrée prolonge le travail du collège sur les proportions et les pourcentages, en étudiant les situations multiplicatives : pourcentage de pourcentage, évolutions successives et réciproques. La statistique descriptive résume une série de données par des indicateurs (moyenne, médiane, quartiles, écart type) et par des représentations graphiques, y compris pour des séries regroupées en classes.

10.1 Proportions et pourcentages

Définition 10.1Proportion, pourcentage

La proportion (ou fréquence) d'une sous-population $A$ dans une population $E$ est $p = \frac{effectif de A}{effectif de E}$ , nombre de $[0; 1]$ . Exprimée en pourcentage, elle vaut $100 p %$ .

ImportantPasser d'une écriture à l'autre

Un même nombre s'exprime sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage :

$0, 35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} = 35 %; \frac{3}{4} = 0, 75 = 75 %; 1, 2 = \frac{6}{5} = 120 %.$

Pour passer en pourcentage, on multiplie par $100$ ; pour revenir à l'écriture décimale, on divise par $100$ .

Définition 10.2Pourcentage de pourcentage

Lorsque des ensembles de référence sont inclus les uns dans les autres, la proportion d'une partie dans le tout est le produit des proportions successives : si $A \subset B \subset E$ , alors

$proportion de A dans E = (proportion de A dans B) \times (proportion de B dans E) .$

Exemple 10.3

Dans un lycée, $60 %$ des élèves étudient une langue B, et parmi eux $40 %$ étudient l'espagnol. La proportion d'élèves étudiant l'espagnol en langue B dans le lycée est

$0, 40 \times 0, 60 = 0, 24 = 24 %.$

On multiplie les proportions : on ne les additionne pas.

10.2 Évolutions

Définition 10.4Trois façons de mesurer une évolution

Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_{1}$ à une valeur finale $V_{2}$ ( $V_{1} \neq = 0$ ).

Variation absolue (additive) : $V_{2} - V_{1}$ .
Coefficient multiplicateur (multiplicative) : $CM = \frac{V _{2}}{V _{1}}$ .
Taux d'évolution (variation relative) : $t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}}$ , souvent en pourcentage.

Ces deux derniers sont liés par la relation

$CM = 1 + t et donc V_{2} = V_{1} \times (1 + t) .$

Exemple 10.5

Un prix passe de $80$ € à $92$ €. Variation absolue : $+ 12$ €. Coefficient multiplicateur : $\frac{92}{80} = 1, 15$ . Taux : $t = 0, 15 = + 15 %$ . À l'inverse, une baisse de $20 %$ correspond à $CM = 1 - 0, 20 = 0, 80$ .

Proposition 10.6Évolutions successives et réciproque

Évolutions successives : le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients successifs : $CM_{global} = CM_{1} \times CM_{2} \times \dots$
Évolution réciproque : pour revenir de $V_{2}$ à $V_{1}$ , le coefficient est l'inverse : $CM_{r e ˊ ciproque} = \frac{1}{CM}$ .

Exemple 10.7

Un article augmente de $10 %$ puis diminue de $20 %$ . Coefficient global : $1, 10 \times 0, 80 = 0, 88$ , soit une évolution globale de $- 12 %$ (et non $- 10 %$ : les pourcentages ne s'additionnent pas). Pour annuler une hausse de $25 %$ ( $CM = 1, 25$ ), la baisse réciproque a pour coefficient $\frac{1}{1 , 25} = 0, 80$ , soit $- 20 %$ .

Exercices du chapitre

Une proportion dans une proportion corrigé
La partie, puis le tout corrigé
Trois écritures d'une même proportion corrigé
Deux hausses successives et le retour corrigé
Perdre puis regagner cinquante pour cent corrigé
Retrouver le prix avant la hausse corrigé

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