Information chiffrée et statistique descriptive

Cours complet · mathématiques (seconde), chapitre 10 · seconde générale

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Ce chapitre a deux volets. L'information chiffrée prolonge le travail du collège sur les proportions et les pourcentages, en étudiant les situations multiplicatives : pourcentage de pourcentage, évolutions successives et réciproques. La statistique descriptive résume une série de données par des indicateurs (moyenne, médiane, quartiles, écart type) et par des représentations graphiques, y compris pour des séries regroupées en classes.

10.1 Proportions et pourcentages

Définition 10.1Proportion, pourcentage

La proportion (ou fréquence) d'une sous-population $A$ dans une population $E$ est $p = \frac{effectif de A}{effectif de E}$ , nombre de $[0; 1]$ . Exprimée en pourcentage, elle vaut $100 p %$ .

ImportantPasser d'une écriture à l'autre

Un même nombre s'exprime sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage :

$0, 35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} = 35 %; \frac{3}{4} = 0, 75 = 75 %; 1, 2 = \frac{6}{5} = 120 %.$

Pour passer en pourcentage, on multiplie par $100$ ; pour revenir à l'écriture décimale, on divise par $100$ .

Définition 10.2Pourcentage de pourcentage

Lorsque des ensembles de référence sont inclus les uns dans les autres, la proportion d'une partie dans le tout est le produit des proportions successives : si $A \subset B \subset E$ , alors

$proportion de A dans E = (proportion de A dans B) \times (proportion de B dans E) .$

Exemple 10.3

Dans un lycée, $60 %$ des élèves étudient une langue B, et parmi eux $40 %$ étudient l'espagnol. La proportion d'élèves étudiant l'espagnol en langue B dans le lycée est

$0, 40 \times 0, 60 = 0, 24 = 24 %.$

On multiplie les proportions : on ne les additionne pas.

10.2 Évolutions

Définition 10.4Trois façons de mesurer une évolution

Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_{1}$ à une valeur finale $V_{2}$ ( $V_{1} \neq = 0$ ).

Variation absolue (additive) : $V_{2} - V_{1}$ .
Coefficient multiplicateur (multiplicative) : $CM = \frac{V _{2}}{V _{1}}$ .
Taux d'évolution (variation relative) : $t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}}$ , souvent en pourcentage.

Ces deux derniers sont liés par la relation

$CM = 1 + t et donc V_{2} = V_{1} \times (1 + t) .$

Exemple 10.5

Un prix passe de $80$ € à $92$ €. Variation absolue : $+ 12$ €. Coefficient multiplicateur : $\frac{92}{80} = 1, 15$ . Taux : $t = 0, 15 = + 15 %$ . À l'inverse, une baisse de $20 %$ correspond à $CM = 1 - 0, 20 = 0, 80$ .

Proposition 10.6Évolutions successives et réciproque

Évolutions successives : le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients successifs : $CM_{global} = CM_{1} \times CM_{2} \times \dots$
Évolution réciproque : pour revenir de $V_{2}$ à $V_{1}$ , le coefficient est l'inverse : $CM_{r e ˊ ciproque} = \frac{1}{CM}$ .

Exemple 10.7

Un article augmente de $10 %$ puis diminue de $20 %$ . Coefficient global : $1, 10 \times 0, 80 = 0, 88$ , soit une évolution globale de $- 12 %$ (et non $- 10 %$ : les pourcentages ne s'additionnent pas). Pour annuler une hausse de $25 %$ ( $CM = 1, 25$ ), la baisse réciproque a pour coefficient $\frac{1}{1 , 25} = 0, 80$ , soit $- 20 %$ .

iRemarqueProportion ou évolution ?

Un même pourcentage peut exprimer une proportion (une part d'un tout, entre $0$ et $100 %$ ) ou une évolution (une variation, éventuellement supérieure à $100 %$ ou négative). Il faut toujours préciser de quoi l'on parle.

10.3 Séries statistiques : effectifs et fréquences

Définition 10.8Effectifs et fréquences

Une série statistique porte sur un caractère observé sur une population. Pour des valeurs $x_{1}, \dots, x_{p}$ :

l'effectif $n_{i}$ est le nombre d'apparitions de $x_{i}$ ; l'effectif total est $N = n_{1} + \dots + n_{p}$ ;
la fréquence est $f_{i} = \frac{n _{i}}{N}$ ; la somme des fréquences vaut $1$ .

On visualise une série par un diagramme en barres, un diagramme circulaire, ou une boîte à moustaches (construite sur le minimum, $Q_{1}$ , la médiane, $Q_{3}$ et le maximum).

À gauche et au centre : la même série (moyens de transport de $20$ élèves) en barres puis en secteurs (l'angle est proportionnel à l'effectif : marche $\frac{8}{20} \times 360° = 144°$ ). À droite : la boîte à moustaches d'un caractère numérique — environ $25 %$ des valeurs dans chaque tronçon.

10.4 Indicateurs de position

Définition 10.9Moyenne et médiane

Pour une série de valeurs $x_{1}, \dots, x_{p}$ d'effectifs $n_{1}, \dots, n_{p}$ (total $N$ ) :

la moyenne est $x ˉ = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2} + \dots + n _{p} x _{p}}{N}$ (moyenne pondérée) ;
la médiane $M$ partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif.

Proposition 10.10Linéarité de la moyenne

Si l'on transforme chaque valeur par $y_{i} = a x_{i} + b$ (par exemple un changement d'unité), la moyenne se transforme de la même façon :

$y ˉ = a x ˉ + b .$

Exemple 10.11

Des températures ont une moyenne de $x ˉ = 20$ °C. Converties en degrés Fahrenheit par $y = 1, 8 x + 32$ , leur moyenne est $y ˉ = 1, 8 \times 20 + 32 = 68$ °F, sans avoir à reconvertir chaque donnée.

Méthode : Médiane et quartiles

Sur la série ordonnée de $N$ valeurs :

médiane : valeur de rang $\frac{N + 1}{2}$ si $N$ est impair ; moyenne des valeurs de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ si $N$ est pair ;
$Q_{1}$ : calculer $\frac{N}{4}$ , arrondir au rang supérieur si non entier ; $Q_{3}$ : de même avec $\frac{3 N}{4}$ .

Exemple 10.12

Série ordonnée ( $N = 8$ ) : $3; 5; 5; 8; 10; 12; 15; 20$ . Médiane $M = \frac{8 + 10}{2} = 9$ ; $Q_{1} = 5$ (2^e valeur) ; $Q_{3} = 12$ (6^e valeur). D'où la boîte à moustaches :

10.5 Indicateurs de dispersion

Définition 10.13Étendue, écart interquartile, écart type

l'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur ;
l'écart interquartile est $Q_{3} - Q_{1}$ (dispersion des $50 %$ centraux) ;
l'écart type $σ$ mesure la dispersion autour de la moyenne. Il vaut $σ = V$ , où la variance est

$V = \frac{n _{1} ( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + n _{p} ( x _{p} - x ˉ ) ^{2}}{N} .$

Exemple 10.14

Série $4; 6; 8; 10; 12$ ( $N = 5$ ). Moyenne $x ˉ = 8$ . Variance :

$V = \frac{( 4 - 8 ) ^{2} + ( 6 - 8 ) ^{2} + ( 8 - 8 ) ^{2} + ( 10 - 8 ) ^{2} + ( 12 - 8 ) ^{2}}{5} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8.$

Écart type $σ = 8 \approx 2, 8$ . Plus $σ$ est petit, plus les données sont resserrées autour de la moyenne.

iRemarqueDeux couples d'indicateurs

On résume une série par un couple adapté : moyenne–écart type (sensible aux valeurs extrêmes) ou médiane–écart interquartile (robuste aux valeurs extrêmes).

10.6 Influence de l'ajout ou du retrait d'une valeur

iRemarqueEffet sur moyenne et médiane

Ajouter ou retirer une valeur modifie généralement la moyenne, qui tient compte de toutes les données. En pratique, la médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes, car elle ne dépend que des valeurs de rang central : on dit qu'elle est plus robuste.

Exemple 10.15

Salaires (en k€) : $18; 20; 22; 24; 26$ . Moyenne $22$ , médiane $22$ . On ajoute un salaire de $100$ k€ : la moyenne devient $\frac{110 + 100}{6} = 35$ k€, tandis que la médiane passe à $\frac{22 + 24}{2} = 23$ k€. La moyenne est fortement tirée vers le haut, pas la médiane.

10.7 Séries regroupées en classes

Pour un caractère continu, on regroupe les données en classes de même amplitude.

Définition 10.16Histogramme, polygone des fréquences cumulées

L'histogramme représente chaque classe par un rectangle dont l'aire (ici, à amplitude constante, la hauteur) est proportionnelle à l'effectif.
Le polygone des fréquences cumulées relie les points d'abscisse la borne supérieure de chaque classe et d'ordonnée la fréquence (ou l'effectif) cumulée ; il sert notamment à estimer la médiane.

Histogramme des tailles de l'exemple ci-dessous (

N = 20

Méthode : Moyenne d'une série en classes

On calcule une moyenne pondérée à partir de la moyenne de chaque classe et de son effectif. Lorsque la répartition est supposée uniforme dans chaque classe, la moyenne d'une classe est son centre :

$x ˉ = \frac{n _{1} c _{1} + n _{2} c _{2} + \dots + n _{p} c _{p}}{N}, o u ˋ c_{i} est le centre de la classe i .$

Exemple 10.17

Tailles regroupées : $[150; 160 [$ : $6$ élèves ; $[160; 170 [$ : $10$ ; $[170; 180 [$ : $4$ ( $N = 20$ ). Avec les centres $155, 165, 175$ :

$x ˉ = \frac{6 \times 155 + 10 \times 165 + 4 \times 175}{20} = \frac{930 + 1650 + 700}{20} = \frac{3280}{20} = 164 cm .$

Méthode : Classe médiane et estimation de la médiane

calculer les effectifs cumulés ; la classe médiane est celle où l'effectif cumulé atteint $\frac{N}{2}$ ;
en supposant la répartition uniforme dans cette classe, estimer la médiane par interpolation linéaire entre les bornes de la classe.

Exemple 10.18

Reprenons les tailles ( $N = 20$ , donc $\frac{N}{2} = 10$ ). Effectifs cumulés : $6$ , puis $16$ . La classe médiane est $[160; 170 [$ (le cumul dépasse $10$ dans cette classe). Il manque $10 - 6 = 4$ individus sur les $10$ de la classe ; par interpolation, $M \approx 160 + \frac{4}{10} \times 10 = 164$ cm.

L'interpolation revient à lire la médiane sur le polygone des effectifs cumulés :

On trace l'horizontale d'ordonnée $\frac{N}{2} = 10$ : elle coupe le polygone au-dessus de $x \approx 164$ , l'estimation de la médiane.

10.8 Comparer deux séries

Méthode : Décrire les différences entre deux séries

On compare deux séries à l'aide d'un couple d'indicateurs (moyenne–écart type ou médiane–écart interquartile) ou de représentations graphiques (boîtes à moustaches) : l'indicateur de position situe le « niveau » de la série, celui de dispersion son homogénéité.

Exemple 10.19

Deux classes ont la même moyenne $12$ , mais des écarts types $σ_{A} = 2$ et $σ_{B} = 5$ . La classe $A$ est plus homogène (notes resserrées autour de $12$ ) ; la classe $B$ est plus dispersée (notes très variées).

Même médiane ( $12$ ), mais la boîte de la classe $B$ est bien plus large : son écart interquartile ( $16 - 8 = 8$ ) traduit une plus grande dispersion que celui de $A$ ( $13, 5 - 11 = 2, 5$ ).

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices