Variations et extremums

Cours complet · mathématiques (seconde), chapitre 9 · seconde générale

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Décrire une fonction, ce n'est pas seulement calculer des images : c'est aussi dire comment elle évolue — quand elle croît, quand elle décroît, où elle atteint ses valeurs extrêmes. Ce chapitre introduit le sens de variation, le tableau de variations et les extremums, puis les applique aux fonctions affine, carré, inverse et valeur absolue, et aux problèmes d'optimisation.

9.1 Sens de variation

Définition 9.1Croissance, décroissance, monotonie

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . Pour tous réels $u$ et $v$ de $I$ :

$f$ est croissante sur $I$ si $u < v ⟹ f (u) \leq f (v)$ (l'ordre est conservé) ; strictement croissante si $u < v ⟹ f (u) < f (v)$ ;
$f$ est décroissante sur $I$ si $u < v ⟹ f (u) \geq f (v)$ (l'ordre est inversé) ; strictement décroissante si $u < v ⟹ f (u) > f (v)$ ;
$f$ est monotone sur $I$ si elle y est croissante, ou décroissante, sur tout l'intervalle.

Méthode : Lire les variations sur une courbe, tableau de variations

On parcourt la courbe de gauche à droite : là où elle monte, $f$ croît ; là où elle descend, $f$ décroît. On résume dans un tableau de variations : les abscisses des changements de sens en première ligne, des flèches $↗$ (croissance) et $↘$ (décroissance) en seconde, avec les valeurs extrêmes.

Cette fonction est décroissante sur $] - \infty; 1]$ puis croissante sur $[1; + \infty [$ :

$x$	$- \infty$	$1$	$+ \infty$

$f (x)$	$↘$		$↗$
		$- 2$

9.2 Maximum et minimum

Définition 9.2Extremums sur un intervalle

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .

$f (a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si $f (x) \leq f (a)$ pour tout $x \in I$ .
$f (a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si $f (x) \geq f (a)$ pour tout $x \in I$ .

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Le maximum $M = f (x_{M})$ est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe, le minimum $m = f (x_{m})$ celle du point le plus bas : on les lit sur l'axe des ordonnées.

Exemple 9.3

D'après le tableau ci-dessous, $g$ définie sur $[- 3; 4]$ admet un maximum $5$ (en $x = - 3$ ) et un minimum $- 1$ (en $x = 1$ ) :

$x$	$- 3$		$1$		$4$
	$5$				$2$
$g (x)$		$↘$		$↗$
			$- 1$

Méthode : Comparer $f (a)$ et $f (b)$ grâce aux variations

Lorsque $a$ et $b$ appartiennent à un intervalle $I$ sur lequel $f$ est monotone, on compare $f (a)$ et $f (b)$ sans les calculer : ranger $a$ et $b$ , puis conserver l'ordre si $f$ est croissante, l'inverser si $f$ est décroissante.

Exemple 9.4

$f$ est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et $- 5 < - 3 < - 2$ . La décroissance inverse l'ordre : $f (- 5) > f (- 3) > f (- 2)$ .

9.3 Fonctions affines : taux d'accroissement et variations

Définition 9.5Coefficients d'une fonction affine

Une fonction affine s'écrit $f (x) = m x + p$ . Le coefficient $m$ est le taux d'accroissement (ou coefficient directeur) : quand $x$ augmente de $1$ , $f (x)$ varie de $m$ . Le nombre $p = f (0)$ est l'ordonnée à l'origine. La courbe est la droite d'équation $y = m x + p$ .

◆Théorème 9.6Variations d'une fonction affine

La fonction affine $f (x) = m x + p$ est strictement croissante sur $R$ si $m > 0$ , strictement décroissante si $m < 0$ , et constante si $m = 0$ .

Démonstration. Soit $u$ et $v$ deux réels avec $u < v$ . On calcule

$f (v) - f (u) = (m v + p) - (m u + p) = m (v - u) .$

Comme $u < v$ , on a $v - u > 0$ . Le signe de $f (v) - f (u)$ est donc celui de $m$ : si $m > 0$ , $f (v) > f (u)$ (croissante) ; si $m < 0$ , $f (v) < f (u)$ (décroissante) ; si $m = 0$ , $f (v) = f (u)$ (constante). $□$

iRemarqueSens de variation, signe et droite

Pour une fonction affine, tout se lit sur $m$ : le sens de variation (croissante si $m > 0$ ), l'inclinaison de la droite (« qui monte » si $m > 0$ ), et le signe change une seule fois, à la racine $x = - \frac{p}{m}$ (chapitre 8).

9.4 Variations des fonctions carré, inverse, valeur absolue

◆Théorème 9.7Fonction carré

La fonction $x \mapsto x^{2}$ est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ ; elle admet un minimum $0$ en $x = 0$ . Elle est positive : $x^{2} \geq 0$ pour tout $x$ .

Démonstration. Pour $u < v$ , $f (v) - f (u) = v^{2} - u^{2} = (v - u) (v + u)$ , avec $v - u > 0$ . Si $0 \leq u < v$ , alors $v + u > 0$ , donc $f (v) - f (u) > 0$ : croissante sur $[0; + \infty [$ . Si $u < v \leq 0$ , alors $v + u < 0$ , donc $f (v) - f (u) < 0$ : décroissante sur $] - \infty; 0]$ . $□$

◆Théorème 9.8Fonction inverse

La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et décroissante sur $] 0; + \infty [$ (mais pas sur $R^{*}$ tout entier).

Démonstration. Pour $u$ et $v$ de même signe avec $u < v$ :

$f (v) - f (u) = \frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{u - v}{uv} .$

Le numérateur $u - v < 0$ , et le dénominateur $uv > 0$ (car $u$ et $v$ sont de même signe). Donc $f (v) - f (u) < 0$ : $f$ est décroissante sur chacun des deux intervalles. $□$

Proposition 9.9Fonction valeur absolue

La fonction $x \mapsto ∣ x ∣$ est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ ; elle admet un minimum $0$ en $x = 0$ , et $∣ x ∣ \geq 0$ pour tout $x$ .

$x$	$- \infty$	$0$	$+ \infty$

$x^{2}$ et $∣ x ∣$	$↘$		$↗$
		$0$

$x$	$- \infty$		$0$		$+ \infty$
$\frac{1}{x}$		$↘$	$∥$	$↘$

En orange les branches où la fonction descend, en vert celles où elle monte. L'inverse descend sur chacun de ses deux intervalles, mais pas sur $R^{*}$ tout entier : entre les deux branches, elle « saute » de $- \infty$ à $+ \infty$ .

9.5 Position relative de $y = x$ et $y = x^{2}$ (pour $x \geq 0$ )

◆Théorème 9.10Comparaison de

x

x^{2}

sur

R^{+}

Pour $x \geq 0$ : la courbe $y = x^{2}$ est au-dessous de la droite $y = x$ sur $[0; 1]$ , et au-dessus sur $[1; + \infty [$ ; elles se coupent en $x = 0$ et $x = 1$ .

Démonstration. Étudions le signe de $x^{2} - x = x (x - 1)$ pour $x \geq 0$ . Le facteur $x \geq 0$ , et $x - 1$ change de signe en $1$ : sur $[0; 1]$ , $x - 1 \leq 0$ donc $x^{2} - x \leq 0$ (soit $x^{2} \leq x$ ) ; sur $[1; + \infty [$ , $x - 1 \geq 0$ donc $x^{2} \geq x$ . L'égalité a lieu en $x = 0$ et $x = 1$ . $□$

iRemarqueApprofondissement : racine carrée et carré sur

R^{+}

Sur $R^{+}$ , les fonctions racine carrée et carré sont réciproques : $(x)^{2} = x$ et $x^{2} = x$ (pour $x \geq 0$ ). Dans un repère orthonormé, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ .

9.6 Automatismes d'encadrement

À partir d'un encadrement de $x$ , on encadre $x^{2}$ ou $\frac{1}{x}$ en utilisant leurs variations.

ImportantEncadrer un carré

bornes de même signe : $2 \leq x \leq 5 \Rightarrow 4 \leq x^{2} \leq 25$ (ordre conservé) ; $- 4 \leq x \leq - 1 \Rightarrow 1 \leq x^{2} \leq 16$ (ordre inversé) ;
bornes de signes contraires : $- 3 \leq x \leq 2 \Rightarrow 0 \leq x^{2} \leq 9$ (car $x^{2} \geq 0$ , borne haute $= max (9, 4)$ ).

ImportantEncadrer un inverse

Si $x$ garde un signe constant ( $0$ exclu), on prend les inverses en renversant les inégalités (fonction inverse décroissante) : $2 \leq x \leq 5 \Rightarrow \frac{1}{5} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}$ .

9.7 Problèmes d'optimisation

Méthode : Résoudre un problème d'optimisation

choisir une variable et exprimer la quantité à optimiser comme une fonction de cette variable, en précisant l'intervalle d'étude ;
déterminer les variations de cette fonction (tableau de variations, lecture graphique ou outil numérique) ;
l'optimum cherché est un extremum : lire la valeur et l'abscisse où il est atteint.

Exemple 9.11

Un rectangle a un périmètre de $20$ cm. En notant $x$ sa largeur, sa longueur est $10 - x$ et son aire vaut $A (x) = x (10 - x)$ pour $x \in] 0; 10 [$ (les bornes sont exclues : pour $x = 0$ ou $x = 10$ , il n'y a plus de rectangle). La courbe de $A$ est une parabole tournée vers le bas, de sommet en $x = 5$ : l'aire est maximale pour $x = 5$ , et vaut $A (5) = 25$ cm $^{2}$ (le rectangle est alors un carré).

L'aire $A (x) = x (10 - x)$ : parabole tournée vers le bas, maximum $25$ atteint en $x = 5$ — le rectangle optimal est le carré.

9.8 Algorithmes


def minimum_balayage(f, a, b, pas):
    # Approxime l'abscisse du minimum de f sur [a, b] par balayage
    x = a
    x_min = a
    while x <= b:
        if f(x) < f(x_min):
            x_min = x
        x = x + pas
    return x_min, f(x_min)

iRemarque

La dichotomie affine cet encadrement, à condition que $f$ soit unimodale sur l'intervalle $[a; b]$ — c'est-à-dire décroissante puis croissante, avec un unique minimum. Contrairement à la recherche d'un zéro, couper l'intervalle en deux ne suffit pas : rien n'indique quelle moitié garder. On compare donc $f$ en deux points intérieurs $u < v$ : si $f (u) < f (v)$ , le minimum ne peut être à droite de $v$ et l'on remplace $b$ par $v$ ; sinon on remplace $a$ par $u$ . L'intervalle rétrécit à chaque étape, et l'on répète jusqu'à la précision voulue.


def longueur_courbe(f, a, b, n):
    # Longueur approchée de la courbe de f entre a et b (n segments)
    longueur = 0
    pas = (b - a) / n
    x = a
    for i in range(n):
        x2 = x + pas
        longueur = longueur + ((x2 - x)**2 + (f(x2) - f(x))**2) ** 0.5
        x = x2
    return longueur

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