Variations et extremums
Cours · mathématiques (seconde), chapitre 9 · seconde générale · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Décrire une fonction, ce n'est pas seulement calculer des images : c'est aussi dire comment elle évolue — quand elle croît, quand elle décroît, où elle atteint ses valeurs extrêmes. Ce chapitre introduit le sens de variation, le tableau de variations et les extremums, puis les applique aux fonctions affine, carré, inverse et valeur absolue, et aux problèmes d'optimisation.
9.1 Sens de variation
Soit définie sur un intervalle . Pour tous réels et de :
- est croissante sur si (l'ordre est conservé) ; strictement croissante si ;
- est décroissante sur si (l'ordre est inversé) ; strictement décroissante si ;
- est monotone sur si elle y est croissante, ou décroissante, sur tout l'intervalle.
Méthode : Lire les variations sur une courbe, tableau de variations
On parcourt la courbe de gauche à droite : là où elle monte, croît ; là où elle descend, décroît. On résume dans un tableau de variations : les abscisses des changements de sens en première ligne, des flèches (croissance) et (décroissance) en seconde, avec les valeurs extrêmes.
Cette fonction est décroissante sur puis croissante sur :
9.2 Maximum et minimum
Soit définie sur un intervalle et .
- est le maximum de sur si pour tout .
- est le minimum de sur si pour tout .
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Le maximum est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe, le minimum celle du point le plus bas : on les lit sur l'axe des ordonnées.
D'après le tableau ci-dessous, définie sur admet un maximum (en ) et un minimum (en ) :