Représentation algébrique et graphique des fonctions

Cours · mathématiques (seconde), chapitre 8 · seconde générale · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une parabole, ses deux racines et son sommet sur l'axe de symétrie.

La notion de fonction traduit la dépendance d'une grandeur par rapport à une autre. Ce chapitre en pose le vocabulaire (image, antécédent, notation $f (x)$ ) et les différents registres, puis relie représentation algébrique et graphique : domaine, courbe d'équation $y = f (x)$ , fonctions de référence, résolution d'équations et d'inéquations, et étude du signe.

8.1 Notion de fonction

Définition 8.1Fonction, ensemble de définition

Soit $D$ une partie de $R$ . Une fonction $f$ définie sur $D$ associe à chaque réel $x \in D$ un unique réel noté $f (x)$ . L'ensemble $D$ est l'ensemble de définition $D_{f}$ .

Définition 8.2Image et antécédent

$f (x)$ est l'image de $x$ ; si $y = f (x)$ , alors $x$ est un antécédent de $y$ . Un nombre a une seule image ; un réel peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Méthode : Calculer une image, chercher des antécédents

Image de $a$ : remplacer $x$ par $a$ (avec des parenthèses). Antécédents de $k$ : résoudre $f (x) = k$ .

Exemple 8.3

$f (x) = 2 x^{2} - 3$ : $f (2) = 5$ ; antécédents de $5$ : $2 x^{2} - 3 = 5 ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = \pm 2$ . Attention : $(- 2)^{2} = 4$ et non $- 4$ .

Définition 8.4Les registres d'une fonction

Une fonction se donne dans plusieurs registres : algébrique (expression $f (x) = 3 x + 2$ ), numérique (tableau de valeurs), graphique (courbe), ou par un programme de calcul (« choisir un nombre, le multiplier par $3$ , ajouter $2$ »).

iRemarqueModélisation et fonctions sur

N

Une fonction modélise une dépendance en géométrie, physique, biologie, économie… (variable $t$ pour le temps). Pour un phénomène discret, elle est définie sur $N$ et l'image se note $u (n)$ (par exemple $u (n) = 3 n + 2$ donne $u (0) = 2$ , $u (1) = 5$ , …).

iRemarqueUn peu d'histoire

La notion de fonction s'est élaborée lentement : Newton et Leibniz (calcul), Euler (notation $f (x)$ ), puis Dirichlet (définition moderne comme correspondance). Cela souligne l'importance de la notation algébrique.

8.2 Ensemble de définition

iRemarqueConvention : les fonctions étudiées en seconde

La définition générale posée en début de chapitre n'impose rien à l'ensemble $D$ : c'est une partie quelconque de $R$ , et l'on a même rencontré des fonctions définies sur $N$ . En seconde, par convention, les fonctions étudiées sont définies sur un intervalle de $R$ , ou sur une réunion finie d'intervalles. Leur ensemble de définition $D_{f}$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels le calcul de $f (x)$ est possible.

Proposition 8.5Les deux interdits du calcul

on ne divise jamais par zéro : un dénominateur doit être non nul ;
une racine carrée n'existe que pour un nombre positif ou nul : l'expression sous une racine doit être $\geq 0$ .

Méthode : Rechercher un domaine

Repérer les dénominateurs et les racines, écrire les conditions d'existence (dénominateur $\neq = 0$ , radicande $\geq 0$ ), les résoudre, puis traduire en intervalles. Sans dénominateur ni racine (polynôme), $D_{f} = R$ .

Exemple 8.6

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ : $x \neq = 3$ , donc $D_{f} =] - \infty; 3 [\cup] 3; + \infty [$ (réunion d'intervalles).
$g (x) = x + 2$ : $x + 2 \geq 0$ , donc $D_{g} = [- 2; + \infty [$ .
$h (x) = 3 x^{2} - 7 x + 5$ : polynôme, donc $D_{h} = R$ .

8.3 Courbe représentative et équation $y = f (x)$

Définition 8.7Courbe représentative

Dans un repère, la courbe représentative de $f$ , notée $C_{f}$ , est l'ensemble des points $M (x; y)$ tels que $x \in D_{f}$ et $y = f (x)$ . L'égalité $y = f (x)$ est l'équation de la courbe.

Exercices du chapitre

Trois images et un antécédent corrigé
Les antécédents de zéro, puis de moins quatre corrigé
Trois ensembles de définition à déterminer corrigé
Trois points sur la courbe, ou pas corrigé
Une racine carrée sur un dénominateur corrigé
L'enclos adossé au mur corrigé

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