Représentation algébrique et graphique des fonctions

Cours complet · mathématiques (seconde), chapitre 8 · seconde générale

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La notion de fonction traduit la dépendance d'une grandeur par rapport à une autre. Ce chapitre en pose le vocabulaire (image, antécédent, notation $f (x)$ ) et les différents registres, puis relie représentation algébrique et graphique : domaine, courbe d'équation $y = f (x)$ , fonctions de référence, résolution d'équations et d'inéquations, et étude du signe.

8.1 Notion de fonction

Définition 8.1Fonction, ensemble de définition

Soit $D$ une partie de $R$ . Une fonction $f$ définie sur $D$ associe à chaque réel $x \in D$ un unique réel noté $f (x)$ . L'ensemble $D$ est l'ensemble de définition $D_{f}$ .

Définition 8.2Image et antécédent

$f (x)$ est l'image de $x$ ; si $y = f (x)$ , alors $x$ est un antécédent de $y$ . Un nombre a une seule image ; un réel peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Méthode : Calculer une image, chercher des antécédents

Image de $a$ : remplacer $x$ par $a$ (avec des parenthèses). Antécédents de $k$ : résoudre $f (x) = k$ .

Exemple 8.3

$f (x) = 2 x^{2} - 3$ : $f (2) = 5$ ; antécédents de $5$ : $2 x^{2} - 3 = 5 ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = \pm 2$ . Attention : $(- 2)^{2} = 4$ et non $- 4$ .

Définition 8.4Les registres d'une fonction

Une fonction se donne dans plusieurs registres : algébrique (expression $f (x) = 3 x + 2$ ), numérique (tableau de valeurs), graphique (courbe), ou par un programme de calcul (« choisir un nombre, le multiplier par $3$ , ajouter $2$ »).

iRemarqueModélisation et fonctions sur

N

Une fonction modélise une dépendance en géométrie, physique, biologie, économie… (variable $t$ pour le temps). Pour un phénomène discret, elle est définie sur $N$ et l'image se note $u (n)$ (par exemple $u (n) = 3 n + 2$ donne $u (0) = 2$ , $u (1) = 5$ , …).

iRemarqueUn peu d'histoire

La notion de fonction s'est élaborée lentement : Newton et Leibniz (calcul), Euler (notation $f (x)$ ), puis Dirichlet (définition moderne comme correspondance). Cela souligne l'importance de la notation algébrique.

8.2 Ensemble de définition

iRemarqueConvention : les fonctions étudiées en seconde

La définition générale posée en début de chapitre n'impose rien à l'ensemble $D$ : c'est une partie quelconque de $R$ , et l'on a même rencontré des fonctions définies sur $N$ . En seconde, par convention, les fonctions étudiées sont définies sur un intervalle de $R$ , ou sur une réunion finie d'intervalles. Leur ensemble de définition $D_{f}$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels le calcul de $f (x)$ est possible.

Proposition 8.5Les deux interdits du calcul

on ne divise jamais par zéro : un dénominateur doit être non nul ;
une racine carrée n'existe que pour un nombre positif ou nul : l'expression sous une racine doit être $\geq 0$ .

Méthode : Rechercher un domaine

Repérer les dénominateurs et les racines, écrire les conditions d'existence (dénominateur $\neq = 0$ , radicande $\geq 0$ ), les résoudre, puis traduire en intervalles. Sans dénominateur ni racine (polynôme), $D_{f} = R$ .

Exemple 8.6

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ : $x \neq = 3$ , donc $D_{f} =] - \infty; 3 [\cup] 3; + \infty [$ (réunion d'intervalles).
$g (x) = x + 2$ : $x + 2 \geq 0$ , donc $D_{g} = [- 2; + \infty [$ .
$h (x) = 3 x^{2} - 7 x + 5$ : polynôme, donc $D_{h} = R$ .

8.3 Courbe représentative et équation $y = f (x)$

Définition 8.7Courbe représentative

Dans un repère, la courbe représentative de $f$ , notée $C_{f}$ , est l'ensemble des points $M (x; y)$ tels que $x \in D_{f}$ et $y = f (x)$ . L'égalité $y = f (x)$ est l'équation de la courbe.

Méthode : Exploiter l'équation $y = f (x)$

Appartenance : le point $A (x_{A}; y_{A})$ appartient à $C_{f}$ si et seulement si $y_{A} = f (x_{A})$ .
Calcul de coordonnées : un point de $C_{f}$ d'abscisse $a$ a pour ordonnée $f (a)$ ; un point d'ordonnée $b$ a pour abscisse un antécédent de $b$ .

Exemple 8.8

Soit $f (x) = x^{2} - 1$ . Le point $A (3; 8)$ appartient-il à $C_{f}$ ? $f (3) = 9 - 1 = 8 = y_{A}$ : oui. Le point $B (2; 5)$ ? $f (2) = 3 \neq = 5$ : non. Le point de $C_{f}$ d'abscisse $- 2$ est $(- 2; f (- 2)) = (- 2; 3)$ .

8.3.1 Lectures graphiques

Méthode : Lire images et antécédents

Image de $a$ : repérer $a$ sur l'axe des abscisses, monter jusqu'à $C_{f}$ , lire l'ordonnée (ici $f (2) = - 2$ , orange). Antécédents de $b$ : tracer la droite $y = b$ ; les abscisses des intersections avec $C_{f}$ sont les antécédents (ici les antécédents de $2$ sont $- 1$ , $0$ et $3$ , vert).

8.4 Trois fonctions de référence : valeur absolue, carré, inverse

Définition 8.9Fonctions valeur absolue, carré, inverse

La fonction valeur absolue $x \mapsto ∣ x ∣$ , définie sur $R$ ; sa courbe est en « V ».
La fonction carré $x \mapsto x^{2}$ , définie sur $R$ ; sa courbe est une parabole de sommet $O$ .
La fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ , définie sur $R^{*} =] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ ; sa courbe est une hyperbole.

$x \mapsto ∣ x ∣$

$x \mapsto x^{2}$

$x \mapsto \frac{1}{x}$

8.5 Fonctions racine carrée et cube

Pour compléter le répertoire des fonctions de référence utiles à la résolution, on ajoute la racine carrée et le cube.

Définition 8.10Fonctions racine carrée et cube

La fonction racine carrée $x \mapsto x$ est définie sur $[0; + \infty [$ ; sa courbe part de l'origine et croît lentement (elle passe par $(1; 1)$ et $(4; 2)$ ).
La fonction cube $x \mapsto x^{3}$ est définie sur $R$ ; sa courbe (une cubique) est symétrique par rapport à l'origine.

$x \mapsto x$

$x \mapsto x^{3}$

8.6 Résoudre $f (x) = k$ et $f (x) < k$

Méthode : Choisir une méthode

Pour résoudre $f (x) = k$ ou $f (x) < k$ , on choisit la méthode adaptée :

graphique : lire les abscisses des points de $C_{f}$ situés sur (ou en dessous de) la droite $y = k$ ;
algébrique : transformer l'égalité ou l'inégalité jusqu'à isoler $x$ ;
logicielle : calculatrice, tableur ou Python pour une valeur approchée.

Résolution graphique (ici $f (x) = x^{2} - 2$ , $k = 2$ ). Les solutions de $f (x) = k$ sont les abscisses des intersections de $C_{f}$ avec la droite $y = k$ (soit $- 2$ et $2$ ) ; $f (x) < k$ là où $C_{f}$ est sous la droite, soit $] - 2; 2 [$ .

ImportantRésolution algébrique pour les fonctions de référence

Pour $k$ donné :

Affine $m x + p = k$ : une solution $x = \frac{k - p}{m}$ (si $m \neq = 0$ ).
Carré $x^{2} = k$ : deux solutions $\pm k$ si $k > 0$ , une seule ( $0$ ) si $k = 0$ , aucune si $k < 0$ . De plus $x^{2} < k$ (pour $k > 0$ ) équivaut à $- k < x < k$ .
Valeur absolue $∣ x ∣ = k$ ( $k \geq 0$ ) : $x = k$ ou $x = - k$ ; et $∣ x ∣ < k$ équivaut à $- k < x < k$ .
Inverse $\frac{1}{x} = k$ ( $k \neq = 0$ ) : $x = \frac{1}{k}$ .
Racine $x = k$ ( $k \geq 0$ ) : $x = k^{2}$ ; et $x < k$ équivaut à $0 \leq x < k^{2}$ .
Cube $x^{3} = k$ : une unique solution.

Exemple 8.11

$∙$ $2 x - 3 = 5 ⟺ x = 4$ . $∙$ $x^{2} = 9 ⟺ x = 3$ ou $x = - 3$ .

$∙$ $∣ x ∣ < 4 ⟺ x \in] - 4; 4 [$ . $∙$ $\frac{1}{x} = 2 ⟺ x = \frac{1}{2}$ . $∙$ $x = 3 ⟺ x = 9$ .

8.7 Résoudre $f (x) = g (x)$ et $f (x) < g (x)$

ImportantRésolution graphique

Les solutions de $f (x) = g (x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ et $C_{g}$ . Celles de $f (x) < g (x)$ sont les abscisses où $C_{f}$ est en dessous de $C_{g}$ .

$f (x) = g (x)$ : solutions $x = - 1$ et $x = 2$ .

$f (x) < g (x)$ : $] - 1; 2 [$ (courbe bleue sous la droite).

iRemarque

Confusion classique : les solutions sont des abscisses (valeurs de $x$ ), lues sur l'axe horizontal, jamais des ordonnées.

8.8 Signe d'une fonction et tableaux de signes

Proposition 8.12Signe d'une fonction affine

Soit $f (x) = m x + p$ avec $m \neq = 0$ . Elle s'annule en $x = - \frac{p}{m}$ , et $f (x)$ est du signe de $m$ après cette racine (et du signe opposé avant).

Exemple 8.13

$f (x) = 2 x - 6$ s'annule en $3$ ; comme $m = 2 > 0$ , $f (x) < 0$ sur $] - \infty; 3 [$ et $f (x) > 0$ sur $] 3; + \infty [$ .

Le signe d'une fonction affine se lit sur sa courbe : positif là où la droite est au-dessus de l'axe des abscisses.

Proposition 8.14Signe des fonctions de référence

Sur leur ensemble de définition :

$x^{2}$ , $∣ x ∣$ et $x$ sont positives ou nulles (nulles seulement en $x = 0$ ) ;
$\frac{1}{x}$ et $x^{3}$ sont du signe de $x$ : strictement négatives pour $x < 0$ , strictement positives pour $x > 0$ (et $x^{3}$ s'annule en $0$ ).

Méthode : Tableau de signes d'un produit ou d'un quotient

déterminer les racines de chaque facteur, et pour un quotient, les valeurs interdites (racines du dénominateur) ;
porter ces valeurs, dans l'ordre croissant, sur la première ligne ;
donner le signe de chaque facteur, puis appliquer la règle des signes ; sous une valeur interdite, on met une double barre (le quotient n'existe pas).

Exemple 8.15Produit

Signe de $f (x) = (x + 1) (x - 3)$ :

$x$		$- 1$		$3$
$x + 1$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$x - 3$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Ainsi $f (x) = 0$ pour $x \in {- 1; 3}$ et $f (x) > 0$ sur $] - \infty; - 1 [\cup] 3; + \infty [$ .

Exemple 8.16Quotient

Signe de $g (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ (valeur interdite $x = - 2$ ) :

$x$		$- 2$		$1$
$x - 1$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$g (x)$	$+$	$∥$	$-$	$0$	$+$

Donc $g (x) > 0$ sur $] - \infty; - 2 [\cup] 1; + \infty [$ , $g (x) < 0$ sur $] - 2; 1 [$ , et $g (x) = 0$ en $x = 1$ .

iRemarqueRésoudre

f (x) = 0

f (x) > 0

Le tableau de signes résout d'un coup ces (in)équations : $f (x) = 0$ aux racines, $f (x) > 0$ sur les intervalles marqués $+$ . Ainsi, pour le quotient ci-dessus, $g (x) > 0$ a pour solutions $] - \infty; - 2 [\cup] 1; + \infty [$ .

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