Automatismes de géométrie

Cours complet · mathématiques (seconde), chapitre 7 · seconde générale

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La géométrie du collège fournit une boîte à outils que l'on réactive tout au long de l'année : formules de périmètres, aires et volumes, théorèmes de Pythagore et de Thalès, et trigonométrie dans le triangle rectangle. On les relie ici au point de vue vectoriel des chapitres 5 et 6 : Pythagore fonde la norme d'un vecteur, et Thalès correspond à la colinéarité. Ces automatismes servent aussi bien en géométrie repérée que dans les problèmes issus des autres disciplines.

7.1 Périmètres, aires et volumes

ImportantPérimètres et aires des figures usuelles

Figure	Périmètre	Aire
Rectangle ( $L$ , $ℓ$ )	$2 (L + ℓ)$	$L \times ℓ$
Triangle (base $b$ , hauteur $h$ )	somme des côtés	$\frac{b \times h}{2}$
Disque (rayon $r$ )	$2 π r$	$π r^{2}$
Parallélogramme (base $b$ , hauteur $h$ )	somme des côtés	$b \times h$

ImportantVolumes des solides usuels

Solide	Volume
Pavé droit ( $L$ , $ℓ$ , $h$ )	$L \times ℓ \times h$
Prisme / cylindre (aire de base $B$ , hauteur $h$ )	$B \times h$ (cylindre : $π r^{2} h$ )
Pyramide / cône (aire de base $B$ , hauteur $h$ )	$\frac{B \times h}{3}$ (cône : $\frac{π r ^{2} h}{3}$ )
Boule (rayon $r$ )	$\frac{4}{3} π r^{3}$

Exemple 7.1

Un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm a pour volume $V = π \times 3^{2} \times 10 = 90 π \approx 283$ cm $^{3}$ . Une boule de rayon $3$ cm a pour volume $V = \frac{4}{3} π \times 3^{3} = 36 π \approx 113$ cm $^{3}$ .

ImportantConversions d'unités

Longueurs : chaque rang vaut $10$ ( $1$ km $= 1000$ m ; $1$ m $= 100$ cm).
Aires : chaque rang vaut $100$ ( $1$ m $^{2} = 100$ dm $^{2}$ ; $1$ ha $= 10000$ m $^{2}$ ).
Volumes : chaque rang vaut $1000$ ( $1$ m $^{3} = 1000$ dm $^{3}$ ) ; contenances : $1$ L $= 1$ dm $^{3}$ , donc $1$ m $^{3} = 1000$ L.
Masses : chaque rang vaut $10$ ( $1$ t $= 1000$ kg ; $1$ kg $= 1000$ g).
Durées : $1$ h $= 60$ min $= 3600$ s.
Vitesses : $1$ km/h $= \frac{1 000}{3 600}$ m/s, d'où la règle : km/h $\to$ m/s : diviser par $3, 6$ (et multiplier par $3, 6$ dans l'autre sens).

Exemple 7.2

$90$ km/h $= \frac{90}{3 , 6} = 25$ m/s ; $2, 5$ m $^{2} = 250$ dm $^{2}$ ; $3$ L $= 3$ dm $^{3} = 3000$ cm $^{3}$ ; $1$ h $45$ min $= 105$ min $= 6300$ s.

7.2 Théorèmes de Pythagore et de Thalès

◆Théorème 7.3Théorème de Pythagore

Si le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ . Réciproquement, si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors $A B C$ est rectangle en $A$ .

Les aires :

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Carré de côté

a + b

4

triangles

+

un carré

c^{2}

Démonstration (par les aires). Notons $a$ et $b$ les côtés de l'angle droit, $c$ l'hypoténuse. Le carré de côté $a + b$ (figure de droite) a pour aire $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ . Il se décompose aussi en quatre triangles rectangles identiques (côtés $a$ , $b$ ) et en un quadrilatère intérieur dont les quatre côtés valent $c$ . Ce quadrilatère est bien un carré : en notant $α$ et $β$ les deux angles aigus du triangle rectangle, ils sont complémentaires ( $α + β = 90°$ ) ; or en chaque sommet du quadrilatère, l'angle plat de $180°$ se partage entre $α$ , l'angle du quadrilatère et $β$ , de sorte que celui-ci vaut $180° - (α + β) = 90°$ . Quatre côtés égaux à $c$ et quatre angles droits : c'est un carré, d'aire $c^{2}$ . L'aire totale de la décomposition vaut donc $4 \times \frac{ab}{2} + c^{2} = 2 ab + c^{2}$ . En égalant les deux aires, $a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 ab + c^{2}$ , d'où $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . $□$

iRemarque

Pythagore fonde le calcul des longueurs : dans un repère orthonormé (chapitre 5), les coordonnées $x$ et $y$ d'un vecteur sont les côtés de l'angle droit et sa norme en est l'hypoténuse, d'où $u = x^{2} + y^{2}$ .

Exemple 7.4

Un triangle a pour côtés $6$ , $8$ et $10$ . Comme $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2}$ , il est rectangle (angle droit opposé au côté $10$ ).

◆Théorème 7.5Théorème de Thalès

Soit deux droites sécantes en $A$ , $B$ et $M$ sur la première, $C$ et $N$ sur la seconde. Si $(B C) ∥ (M N)$ , alors

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} .$

Sommet

A

à l'extérieur des parallèles (triangles emboîtés).

Sommet

A

à l'intérieur des parallèles (configuration « papillon »).

iRemarquePoint de vue vectoriel

Thalès traduit le parallélisme par une proportionnalité des longueurs ; c'est exactement la colinéarité des vecteurs (chapitre 5) : $(M N) ∥ (B C)$ équivaut à $M N$ et $B C$ colinéaires, avec $A M = k A B$ et $A N = k A C$ pour le même coefficient $k = \frac{A M}{A B}$ .

Exemple 7.6

Avec $A M = 3$ , $A B = 5$ et $B C = 8$ (et $(M N) ∥ (B C)$ ), on obtient $M N = \frac{A M}{A B} \times B C = \frac{3}{5} \times 8 = 4, 8$ .

Définition 7.7Triangles semblables

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs angles deux à deux égaux ; leurs côtés opposés aux angles égaux sont alors proportionnels.

7.3 Trigonométrie dans le triangle rectangle

Par rapport à l'angle $α$ (sommet $A$ ) : le côté adjacent, le côté opposé, et l'hypoténuse (opposée à l'angle droit).

Définition 7.8Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $α$ :

$cos α = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}, sin α = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}, tan α = \frac{oppos e ˊ}{adjacent} .$

ImportantMoyen mnémotechnique : CAH-SOH-TOA

Cos $=$ Adj / Hyp ; Sin $=$ Opp / Hyp ; Tan $=$ Opp / Adj.

iRemarque

Les trois quotients ne sont pas indépendants : $tan α = \frac{opp}{adj} = \frac{opp / hyp}{adj / hyp} = \frac{sin α}{cos α}$ .

Proposition 7.9Relation fondamentale de la trigonométrie

Pour tout angle aigu $α$ d'un triangle rectangle,

$cos^{2} α + sin^{2} α = 1.$

Démonstration. Avec les notations ci-dessus, $cos α = \frac{adj}{hyp}$ et $sin α = \frac{opp}{hyp}$ , donc

$cos^{2} α + sin^{2} α = \frac{adj ^{2} + opp ^{2}}{hyp ^{2}} = \frac{hyp ^{2}}{hyp ^{2}} = 1,$

d'après le théorème de Pythagore ( $adj^{2} + opp^{2} = hyp^{2}$ ). $□$

Proposition 7.10Relations avec la tangente

Pour tout angle aigu $α$ ,

$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α} et 1 + \frac{1}{tan ^{2} α} = \frac{1}{sin ^{2} α} .$

Démonstration. On part de la relation fondamentale $cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ . En la divisant par $cos^{2} α$ (non nul) :

$1 + \frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α} = \frac{1}{cos ^{2} α}, soit 1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α} .$

En la divisant plutôt par $sin^{2} α$ :

$\frac{cos ^{2} α}{sin ^{2} α} + 1 = \frac{1}{sin ^{2} α}, soit 1 + \frac{1}{tan ^{2} α} = \frac{1}{sin ^{2} α},$

puisque $\frac{cos α}{sin α} = \frac{1}{tan α}$ . $□$

Proposition 7.11Angles complémentaires

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus $α$ et $90° - α$ sont complémentaires ; le côté opposé à l'un est adjacent à l'autre, d'où

$cos (90° - α) = sin α, sin (90° - α) = cos α, tan (90° - α) = \frac{1}{tan α} .$

Démonstration. Dans le triangle rectangle en $B$ , l'angle en $A$ vaut $α$ et celui en $C$ vaut $90° - α$ (la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ ). Pour l'angle $α$ (sommet $A$ ), le côté opposé est $B C$ et l'adjacent $A B$ ; pour l'angle $90° - α$ (sommet $C$ ), c'est l'inverse : l'opposé est $A B$ et l'adjacent $B C$ . Donc

$cos (90° - α) = \frac{B C}{A C} = sin α, sin (90° - α) = \frac{A B}{A C} = cos α,$

et $tan (90° - α) = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{B C / A B} = \frac{1}{tan α}$ . $□$

Valeurs remarquables des angles $30°$ , $45°$ , $60°$

Comme $45° = 90° - 45°$ , la relation des angles complémentaires donne $cos 45° = sin 45°$ ; avec la relation fondamentale, $2 cos^{2} 45° = 1$ , d'où $cos 45° = sin 45° = \frac{2}{2}$ et $tan 45° = 1$ . De même, $30°$ et $60°$ étant complémentaires, $cos 30° = sin 60°$ et $sin 30° = cos 60°$ . On calcule ces valeurs par Pythagore dans deux triangles :

Rectangle isocèle :

hyp = 1^{2} + 1^{2} = 2

, d'où

cos 45° = sin 45° = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

Demi-équilatéral (côté

2

) : hauteur

= 2^{2} - 1^{2} = 3

, d'où

cos 60° = \frac{1}{2}

sin 60° = \frac{3}{2}

Cas limites $0°$ et $90°$ . Imaginons un triangle rectangle dont l'angle $α$ diminue jusqu'à s'annuler : le côté opposé s'écrase (il tend vers $0$ ) et l'adjacent se confond avec l'hypoténuse.

Ainsi $sin 0° = \frac{opp}{hyp} = 0$ , $cos 0° = \frac{adj}{hyp} = 1$ et $tan 0° = 0$ . Par complémentarité, $cos 90° = sin 0° = 0$ et $sin 90° = cos 0° = 1$ ; en revanche $tan 90°$ n'existe pas (l'adjacent serait nul). On récapitule :

$α$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tan α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	$∄$

ImportantAstuce pour retenir ces valeurs

Sinus. Sous les angles $0°$ , $30°$ , $45°$ , $60°$ , $90°$ , écrire les fractions $\frac{0}{4}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{4}{4}$ , puis en prendre la racine carrée :

$\frac{0}{4} = 0, \frac{1}{4} = \frac{1}{2}, \frac{2}{4} = \frac{2}{2}, \frac{3}{4} = \frac{3}{2}, \frac{4}{4} = 1.$

C'est la ligne des sinus.

Cosinus. On lit la ligne des sinus à l'envers (de $90°$ vers $0°$ ) : $1$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{1}{2}$ , $0$ .

Tangentes. On fait le rapport $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ , colonne par colonne.

Méthode : Calculer une longueur ou un angle

Longueur : repérer l'angle et le côté connus, choisir la relation ( $cos$ , $sin$ ou $tan$ ) qui les relie au côté cherché, puis résoudre. Angle : calculer le rapport de deux côtés, puis utiliser $cos^{- 1}$ , $sin^{- 1}$ ou $tan^{- 1}$ .

Exemple 7.12

Triangle rectangle en $B$ , $B A C = 35°$ , $A B = 5$ (adjacent) : $B C = A B \times tan 35° \approx 5 \times 0, 700 \approx 3, 5$ . Si $cos α = 0, 8$ , alors $α = cos^{- 1} (0, 8) \approx 37°$ .

7.4 Configurations : triangles et quadrilatères

Définition 7.13Droites remarquables d'un triangle

Dans un triangle : la médiatrice d'un côté lui est perpendiculaire en son milieu ; la hauteur issue d'un sommet est perpendiculaire au côté opposé ; la médiane joint un sommet au milieu du côté opposé ; la bissectrice partage un angle en deux. Les trois médianes se coupent au centre de gravité, les trois médiatrices au centre du cercle circonscrit.

Proposition 7.14Quadrilatères particuliers

Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles (ou ses diagonales de même milieu). Un rectangle est un parallélogramme à angle droit (diagonales de même longueur) ; un losange, un parallélogramme à côtés consécutifs égaux (diagonales perpendiculaires) ; un carré est à la fois rectangle et losange.

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