Automatismes de géométrie

Cours · mathématiques (seconde), chapitre 7 · seconde générale · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le théorème de Pythagore : l'aire du carré sur l'hypoténuse est la somme des aires des deux autres carrés.

La géométrie du collège fournit une boîte à outils que l'on réactive tout au long de l'année : formules de périmètres, aires et volumes, théorèmes de Pythagore et de Thalès, et trigonométrie dans le triangle rectangle. On les relie ici au point de vue vectoriel des chapitres 5 et 6 : Pythagore fonde la norme d'un vecteur, et Thalès correspond à la colinéarité. Ces automatismes servent aussi bien en géométrie repérée que dans les problèmes issus des autres disciplines.

7.1 Périmètres, aires et volumes

ImportantPérimètres et aires des figures usuelles

Figure	Périmètre	Aire
Rectangle ( $L$ , $ℓ$ )	$2 (L + ℓ)$	$L \times ℓ$
Triangle (base $b$ , hauteur $h$ )	somme des côtés	$\frac{b \times h}{2}$
Disque (rayon $r$ )	$2 π r$	$π r^{2}$
Parallélogramme (base $b$ , hauteur $h$ )	somme des côtés	$b \times h$

ImportantVolumes des solides usuels

Solide	Volume
Pavé droit ( $L$ , $ℓ$ , $h$ )	$L \times ℓ \times h$
Prisme / cylindre (aire de base $B$ , hauteur $h$ )	$B \times h$ (cylindre : $π r^{2} h$ )
Pyramide / cône (aire de base $B$ , hauteur $h$ )	$\frac{B \times h}{3}$ (cône : $\frac{π r ^{2} h}{3}$ )
Boule (rayon $r$ )	$\frac{4}{3} π r^{3}$

Exemple 7.1

Un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm a pour volume $V = π \times 3^{2} \times 10 = 90 π \approx 283$ cm $^{3}$ . Une boule de rayon $3$ cm a pour volume $V = \frac{4}{3} π \times 3^{3} = 36 π \approx 113$ cm $^{3}$ .

ImportantConversions d'unités

Longueurs : chaque rang vaut $10$ ( $1$ km $= 1000$ m ; $1$ m $= 100$ cm).
Aires : chaque rang vaut $100$ ( $1$ m $^{2} = 100$ dm $^{2}$ ; $1$ ha $= 10000$ m $^{2}$ ).
Volumes : chaque rang vaut $1000$ ( $1$ m $^{3} = 1000$ dm $^{3}$ ) ; contenances : $1$ L $= 1$ dm $^{3}$ , donc $1$ m $^{3} = 1000$ L.
Masses : chaque rang vaut $10$ ( $1$ t $= 1000$ kg ; $1$ kg $= 1000$ g).
Durées : $1$ h $= 60$ min $= 3600$ s.
Vitesses : $1$ km/h $= \frac{1 000}{3 600}$ m/s, d'où la règle : km/h $\to$ m/s : diviser par $3, 6$ (et multiplier par $3, 6$ dans l'autre sens).

Exemple 7.2

$90$ km/h $= \frac{90}{3 , 6} = 25$ m/s ; $2, 5$ m $^{2} = 250$ dm $^{2}$ ; $3$ L $= 3$ dm $^{3} = 3000$ cm $^{3}$ ; $1$ h $45$ min $= 105$ min $= 6300$ s.

7.2 Théorèmes de Pythagore et de Thalès

◆Théorème 7.3Théorème de Pythagore

Si le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ . Réciproquement, si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors $A B C$ est rectangle en $A$ .

Exercices du chapitre

Lire et placer des points repérés corrigé
Aire d'un disque, volume d'un cône corrigé
Une boule de même volume qu'un pavé corrigé
Cinq conversions d'unités corrigé
Pythagore retrouvé par la norme d'un vecteur corrigé
Deux triangles, un seul est rectangle corrigé

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