Droites du plan

Cours complet · mathématiques (seconde), chapitre 6 · seconde générale

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Au collège, les droites sont apparues comme représentations graphiques des fonctions affines. En seconde, on les étudie par leurs équations. Ce chapitre s'appuie sur les vecteurs et le déterminant du chapitre 5 : la notion de vecteur directeur donne la direction d'une droite, et le déterminant permet d'en établir l'équation, de tester l'alignement de points et de reconnaître des droites parallèles ou sécantes. Sauf mention contraire, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; i, j)$ .

6.1 Vecteur directeur d'une droite

Définition 6.1Vecteur directeur

Soit $(d)$ une droite passant par deux points distincts $A$ et $B$ . Tout vecteur non nul colinéaire à $A B$ est un vecteur directeur de $(d)$ : il en donne la direction. En particulier, $A B$ est lui-même un vecteur directeur de $(d)$ .

La droite $(d)$ passe par $A$ et $B$ ; $A B$ , et tout vecteur colinéaire comme $u$ , est un vecteur directeur : il donne la direction de $(d)$ .

iRemarque

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (déterminant nul, chapitre 5).

6.2 Forme générale d'une équation de droite

◆Théorème 6.2Équation cartésienne d'une droite

Toute droite $(d)$ du plan admet une équation de la forme

$a x + b y + c = 0 avec (a; b) \neq = (0; 0),$

appelée équation cartésienne. Réciproquement, toute équation de cette forme définit une droite, dont $u (- b a)$ est un vecteur directeur.

Le point courant $M$ décrit la droite $(d)$ : il lui appartient exactement quand $A M$ est colinéaire au vecteur directeur $u$ .

Démonstration (à l'aide du déterminant). Soit $(d)$ la droite passant par $A (x_{A}; y_{A})$ et de vecteur directeur $u (α; β)$ (non nul). Un point $M (x; y)$ appartient à $(d)$ si et seulement si $A M$ et $u$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul :

$det (A M; u) = (x - x_{A}) β - (y - y_{A}) α = 0.$

En développant, $β x - α y + (α y_{A} - β x_{A}) = 0$ . En posant $a = β$ , $b = - α$ et $c = α y_{A} - β x_{A}$ , on obtient

$a x + b y + c = 0,$

avec $(a; b) = (β; - α) \neq = (0; 0)$ puisque $u \neq = 0$ . De plus $u (α; β) = (- b; a)$ : le vecteur $(- b a)$ est bien un vecteur directeur. $□$

ImportantDéterminer une équation cartésienne

Pour la droite passant par $A (x_{A}; y_{A})$ de vecteur directeur $u (- b a)$ (ou $A B$ si l'on connaît deux points) :

l'équation est de la forme $a x + b y + c = 0$ ;
on trouve $c$ en écrivant que $A$ appartient à la droite : $c = - a x_{A} - b y_{A}$ .

Exemple 6.3

Droite passant par $A (2; 1)$ et de vecteur directeur $A B (- 3 3)$ : on prend $a = 3$ et $b = 3$ , soit $3 x + 3 y + c = 0$ . Comme $A$ y appartient, $3 \times 2 + 3 \times 1 + c = 0$ , d'où $c = - 9$ : une équation cartésienne est $3 x + 3 y - 9 = 0$ , que l'on simplifie en divisant par $3$ en $x + y - 3 = 0$ .

6.3 Équation réduite et pente

◆Théorème 6.4Équation réduite

Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une unique équation réduite

$y = m x + p,$

où $m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $p$ l'ordonnée à l'origine ; un vecteur directeur est $u (1 m)$ . Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation $x = k$ (vecteur directeur $j$ ).

Les deux cas : une droite non verticale a une équation réduite $y = m x + p$ ; une droite verticale a une équation $x = k$ .

Proposition 6.5Pente à partir de deux points

Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ appartiennent à une droite non parallèle à l'axe des ordonnées ( $x_{A} \neq = x_{B}$ ), sa pente est

$m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} .$

iRemarque

La pente $m$ mesure l'inclinaison : quand $x$ augmente de $1$ , $y$ varie de $m$ . Si $m > 0$ la droite « monte », si $m < 0$ elle « descend », si $m = 0$ elle est horizontale.

Méthode : Lire la pente et un vecteur directeur

À partir d'une équation. Équation réduite $y = m x + p$ : la pente est $m$ , un vecteur directeur est $(1 m)$ . Équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ : un vecteur directeur est $(- b a)$ , et la pente vaut $- \frac{a}{b}$ (si $b \neq = 0$ ).
À partir d'un graphique. On repère deux points à coordonnées entières de la droite et l'on compte le déplacement : « de combien monte-t-on quand on avance de $1$ ? » donne $m$ .

Méthode : Déterminer l'équation réduite

À partir de deux points $A$ , $B$ : calculer $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , puis $p = y_{A} - m x_{A}$ . À partir d'un point et de la pente : écrire $y = m x + p$ et déterminer $p$ avec le point.

Exemple 6.6

Droite passant par $A (1; 2)$ et $B (3; 6)$ : $m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2$ , puis $p = 2 - 2 \times 1 = 0$ . Équation réduite : $y = 2 x$ .

Méthode : Tracer une droite

Équation réduite $y = m x + p$ : placer l'ordonnée à l'origine $(0; p)$ , puis, à partir de ce point, appliquer la pente (avancer de $1$ , monter de $m$ ) pour obtenir un second point ; tracer la droite.
Équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ : calculer deux points (par exemple les intersections avec les axes, en posant $x = 0$ puis $y = 0$ ) et les relier.

Tracer $(d) : y = m x + p$ : on place l'ordonnée à l'origine $(0; p)$ , on applique la pente (avancer de $1$ , monter de $m$ ) pour obtenir un second point, puis on trace.

6.4 Alignement de trois points

Proposition 6.7Critère d'alignement

Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $A B$ et $A C$ sont colinéaires, c'est-à-dire

$det (A B; A C) = 0.$

Exemple 6.8

$A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (- 1; - 1)$ : $A B (2; 3)$ et $A C (- 2; - 3)$ , donc $det = 2 \times (- 3) - 3 \times (- 2) = 0$ . Les points sont alignés.

6.5 Positions relatives de deux droites

Proposition 6.9Parallèles ou sécantes

Deux droites du plan sont soit parallèles (vecteurs directeurs colinéaires), soit sécantes en un unique point. Pour deux droites d'équations réduites $y = m_{1} x + p_{1}$ et $y = m_{2} x + p_{2}$ :

si $m_{1} = m_{2}$ , elles sont parallèles (confondues si de plus $p_{1} = p_{2}$ ) ;
si $m_{1} \neq = m_{2}$ , elles sont sécantes.

Méthode : Point d'intersection de deux droites sécantes

Pour deux droites réduites $y = m_{1} x + p_{1}$ et $y = m_{2} x + p_{2}$ avec $m_{1} \neq = m_{2}$ :

égaler les deux expressions de $y$ : $m_{1} x + p_{1} = m_{2} x + p_{2}$ ;
résoudre pour obtenir l'abscisse $x = \frac{p _{2} - p _{1}}{m _{1} - m _{2}}$ ;
reporter dans l'une des équations pour obtenir $y$ .

Exemple 6.10

Intersection de $(d_{1}) : y = 2 x - 1$ et $(d_{2}) : y = - x + 5$ . On résout $2 x - 1 = - x + 5$ , soit $3 x = 6$ , donc $x = 2$ ; puis $y = 2 \times 2 - 1 = 3$ . Le point d'intersection est $I (2; 3)$ .

Deux pentes égales : droites parallèles, aucun point commun (ou confondues). Deux pentes différentes : un unique point d'intersection.

6.6 Algorithmes


def alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    # Vrai si A, B, C sont alignés (déterminant de AB et AC nul)
    det = (xB - xA) * (yC - yA) - (yB - yA) * (xC - xA)
    return det == 0


def equation_droite(xA, yA, xB, yB):
    # Équation réduite y = m*x + p de la droite (AB), avec xA != xB
    m = (yB - yA) / (xB - xA)
    p = yA - m * xA
    return m, p       # renvoie le couple (m, p)

Exemple 6.11

alignes(1, 2, 3, 5, -1, -1) renvoie True ; equation_droite(1, 2, 3, 6) renvoie (2.0, 0.0), soit $y = 2 x$ . La fonction equation_droite suppose $x_{A} \neq = x_{B}$ (droite non verticale).

6.7 Approfondissements

iRemarquePoints équidistants d'un point et de l'axe des abscisses

Cherchons les points $M (x; y)$ à égale distance du point $F (0; 1)$ et de l'axe des abscisses. La distance de $M$ à l'axe est $∣ y ∣$ , et $M F = x^{2} + (y - 1)^{2}$ . L'égalité $M F = ∣ y ∣$ donne, après élévation au carré, $x^{2} + (y - 1)^{2} = y^{2}$ , soit $x^{2} - 2 y + 1 = 0$ , c'est-à-dire $y = \frac{x ^{2} + 1}{2}$ : l'ensemble cherché n'est pas une droite mais une parabole.

En chaque point $M$ de la parabole, la distance au foyer $F$ égale la distance à la directrice (l'axe des abscisses).

Méthode : Représenter une partie du plan définie par une inégalité

La droite d'équation $a x + b y + c = 0$ partage le plan en deux demi-plans : l'un où $a x + b y + c > 0$ , l'autre où $a x + b y + c < 0$ . Pour savoir lequel correspond à l'inégalité, on teste un point n'appartenant pas à la droite (souvent l'origine $O$ ). Le bord est inclus si l'inégalité est large ( $\leq$ , $\geq$ ), exclu si elle est stricte ( $<$ , $>$ ).

y \geq x + 1

: demi-plan au-dessus. Test

O

0 \geq 1

faux

\Rightarrow

O

exclu.

\\ $x + 2 y - 4 \leq 0$ . Test $O$ : $- 4 \leq 0$ vrai $\Rightarrow$ $O$ inclus.

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