Droites du plan

Cours · mathématiques (seconde), chapitre 6 · seconde générale · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une droite du plan et son coefficient directeur : la variation de y divisée par la variation de x.

Au collège, les droites sont apparues comme représentations graphiques des fonctions affines. En seconde, on les étudie par leurs équations. Ce chapitre s'appuie sur les vecteurs et le déterminant du chapitre 5 : la notion de vecteur directeur donne la direction d'une droite, et le déterminant permet d'en établir l'équation, de tester l'alignement de points et de reconnaître des droites parallèles ou sécantes. Sauf mention contraire, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; i, j)$ .

6.1 Vecteur directeur d'une droite

Définition 6.1Vecteur directeur

Soit $(d)$ une droite passant par deux points distincts $A$ et $B$ . Tout vecteur non nul colinéaire à $A B$ est un vecteur directeur de $(d)$ : il en donne la direction. En particulier, $A B$ est lui-même un vecteur directeur de $(d)$ .

La droite $(d)$ passe par $A$ et $B$ ; $A B$ , et tout vecteur colinéaire comme $u$ , est un vecteur directeur : il donne la direction de $(d)$ .

iRemarque

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (déterminant nul, chapitre 5).

6.2 Forme générale d'une équation de droite

◆Théorème 6.2Équation cartésienne d'une droite

Toute droite $(d)$ du plan admet une équation de la forme

$a x + b y + c = 0 avec (a; b) \neq = (0; 0),$

appelée équation cartésienne. Réciproquement, toute équation de cette forme définit une droite, dont $u (- b a)$ est un vecteur directeur.

Le point courant $M$ décrit la droite $(d)$ : il lui appartient exactement quand $A M$ est colinéaire au vecteur directeur $u$ .

Démonstration (à l'aide du déterminant). Soit $(d)$ la droite passant par $A (x_{A}; y_{A})$ et de vecteur directeur $u (α; β)$ (non nul). Un point $M (x; y)$ appartient à $(d)$ si et seulement si $A M$ et $u$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul :

$det (A M; u) = (x - x_{A}) β - (y - y_{A}) α = 0.$

En développant, $β x - α y + (α y_{A} - β x_{A}) = 0$ . En posant $a = β$ , $b = - α$ et $c = α y_{A} - β x_{A}$ , on obtient

$a x + b y + c = 0,$

avec $(a; b) = (β; - α) \neq = (0; 0)$ puisque $u \neq = 0$ . De plus $u (α; β) = (- b; a)$ : le vecteur $(- b a)$ est bien un vecteur directeur. $□$

ImportantDéterminer une équation cartésienne

Pour la droite passant par $A (x_{A}; y_{A})$ de vecteur directeur $u (- b a)$ (ou $A B$ si l'on connaît deux points) :

l'équation est de la forme $a x + b y + c = 0$ ;
on trouve $c$ en écrivant que $A$ appartient à la droite : $c = - a x_{A} - b y_{A}$ .

Exercices du chapitre

De deux points à l'équation réduite corrigé
Un point, un vecteur directeur, une pente corrigé
Tracer une droite de pente moins trois corrigé
Lire deux droites sur un graphique corrigé
Vérifier un alignement par le calcul corrigé
Deux droites de même pente corrigé

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