Vecteurs et problèmes de géométrie

À deux points $A$ et $B$ on associe le vecteur $\overrightarrow{AB}$, appelé vecteur déplacement de $A$ vers $B$. Il est caractérisé par trois données : sa direction (celle de la droite $(AB)$), son sens (de $A$ vers $B$) et sa longueur (la distance $AB$). Un vecteur se note aussi d'une seule lettre surmontée d'une flèche : $\overrightarrow{u}$.

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On a

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}⟺ABDC\text{ est un paralleˊlogramme (eˊventuellement aplati).}$$

Un même vecteur $\overrightarrow{u}$ admet une infinité de représentants : pour tout point $M$, il existe un unique point $N$ tel que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{u}$.

Le vecteur nul $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA}$ est le vecteur de longueur nulle (sans direction propre). Si l'on fixe une origine $O$ du plan, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ est appelé vecteur position du point $M$ relativement à $O$.

Pour trois points $A$, $B$, $C$ quelconques :

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$

Additionner $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$, c'est enchaîner le déplacement de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$.

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel. Le vecteur $k\overrightarrow{u}$ a :

• la même direction que $\overrightarrow{u}$ ;
• le même sens que $\overrightarrow{u}$ si $k>0$, le sens opposé si $k<0$ ;
• une longueur égale à $|k|$ fois celle de $\overrightarrow{u}$.

Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$ (ou $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$). Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.