Vecteurs et problèmes de géométrie

Cours complet · mathématiques (seconde), chapitre 5 · seconde générale

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Le vecteur est l'outil qui traduit un déplacement : une direction, un sens et une longueur. Introduit au cycle 4 avec les translations, il devient ici un objet de calcul, muni d'une addition et d'une multiplication par un nombre. Couplé aux coordonnées dans une base, il transforme les problèmes de géométrie (alignement, parallélisme, milieux) en calculs simples et sûrs.

5.1 Vecteurs, égalité, représentants

Définition 5.1Vecteur, vecteur

A B

À deux points $A$ et $B$ on associe le vecteur $A B$ , appelé vecteur déplacement de $A$ vers $B$ . Il est caractérisé par trois données : sa direction (celle de la droite $(A B)$ ), son sens (de $A$ vers $B$ ) et sa longueur (la distance $A B$ ). Un vecteur se note aussi d'une seule lettre surmontée d'une flèche : $u$ .

Définition 5.2Égalité de deux vecteurs, représentants

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On a

$A B = C D ⟺ A B D C est un parall e ˊ logramme (e ˊ ventuellement aplati).$

Un même vecteur $u$ admet une infinité de représentants : pour tout point $M$ , il existe un unique point $N$ tel que $M N = u$ .

Trois représentants du même vecteur $u$ : même direction, même sens, même longueur — seul le point de départ change.

Définition 5.3Vecteur nul, vecteur position

Le vecteur nul $0 = AA$ est le vecteur de longueur nulle (sans direction propre). Si l'on fixe une origine $O$ du plan, le vecteur $O M$ est appelé vecteur position du point $M$ relativement à $O$ .

5.2 Somme de vecteurs et relation de Chasles

Définition 5.4Relation de Chasles

Pour trois points $A$ , $B$ , $C$ quelconques :

$A B + B C = A C .$

Additionner $A B$ et $B C$ , c'est enchaîner le déplacement de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$ .

Relation de Chasles : enchaîner le déplacement de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$ revient à aller directement de $A$ à $C$ .

Proposition 5.5Règle du parallélogramme

Pour additionner deux vecteurs à partir de représentants de même origine $A B$ et $A D$ , on construit le parallélogramme $A B C D$ : la somme est la diagonale issue de $A$ ,

$A B + A D = A C .$

iRemarque

Le vecteur nul est l'élément neutre : $u + 0 = u$ . Le vecteur $B A$ est l'opposé de $A B$ : $A B + B A = AA = 0$ , ce qu'on note $B A = - A B$ .

5.3 Produit par un réel et colinéarité

Définition 5.6Produit d'un vecteur par un réel

Soit $u$ un vecteur non nul et $k$ un réel. Le vecteur $k u$ a :

la même direction que $u$ ;
le même sens que $u$ si $k > 0$ , le sens opposé si $k < 0$ ;
une longueur égale à $∣ k ∣$ fois celle de $u$ .

Si $k = 0$ ou $u = 0$ , alors $k u = 0$ .

$2 u$ : même direction, même sens, longueur doublée ; $- u$ : même direction, sens opposé, même longueur.

Définition 5.7Colinéarité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ (ou $u = k v$ ). Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Proposition 5.8Colinéarité, alignement, parallélisme

Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $A B$ et $A C$ sont colinéaires.
Les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles si et seulement si $A B$ et $C D$ sont colinéaires.

◆Théorème 5.9Décomposition dans une base

Si $i$ et $j$ sont deux vecteurs non colinéaires, alors tout vecteur $u$ du plan s'écrit de façon unique comme combinaison

$u = x i + y j .$

5.4 Base, coordonnées et norme

Définition 5.10Base, base orthonormée, coordonnées

Un couple $(i; j)$ de vecteurs non colinéaires est une base du plan. La base est orthonormée lorsque $i$ et $j$ sont orthogonaux et de longueur $1$ . D'après le théorème de décomposition ci-dessus, tout vecteur $u$ s'écrit d'une seule manière $u = x i + y j$ : c'est cette existence et cette unicité qui autorisent la définition suivante. Les réels $x$ et $y$ ainsi obtenus sont les coordonnées de $u$ dans la base $(i; j)$ , notées $u (x; y)$ .

Le vecteur $u = x i + y j$ se lit par ses projections sur les axes : ses coordonnées sont $(x; y)$ .

Proposition 5.11Coordonnées de

A B

, norme, distance

Dans un repère orthonormé, si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ :

$A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) .$

La norme (longueur) d'un vecteur $u (x; y)$ vaut $u = x^{2} + y^{2}$ , d'où la distance entre deux points :

$A B = A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} .$

Exemple 5.12

Avec $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ : $A B (3; 4)$ , donc $A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

5.5 Opérations sur les coordonnées

Proposition 5.13Somme et produit par un réel en coordonnées

Soit $u (x; y)$ , $v (x^{'}; y^{'})$ et $k$ un réel. Alors

$u + v (x + x^{'}; y + y^{'}), k u (k x; k y) .$

De plus, $u = v$ si et seulement si $x = x^{'}$ et $y = y^{'}$ .

Exemple 5.14

$u (2; - 1)$ et $v (3; 5)$ : $u + v (5; 4)$ et $3 u (6; - 3)$ .

5.6 Milieu d'un segment

Proposition 5.15Caractérisation vectorielle du milieu

Le point $I$ est le milieu du segment $[A B]$ si et seulement si

$A I = I B ⟺ O I = \frac{1}{2} (O A + O B) pour toute origine O .$

Dans un repère, il en résulte les coordonnées du milieu :

$I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}) .$

Exemple 5.16

Milieu de $[A B]$ avec $A (- 1; 3)$ et $B (5; 1)$ : $I (\frac{- 1 + 5}{2}; \frac{3 + 1}{2}) = I (2; 2)$ .

Le milieu partage $[A B]$ en deux moitiés égales : son abscisse est la moyenne des abscisses de $A$ et $B$ , son ordonnée la moyenne des ordonnées.

5.7 Déterminant et critère de colinéarité

Définition 5.17Déterminant de deux vecteurs

Dans une base orthonormée, le déterminant des vecteurs $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ est le nombre

$det (u; v) = x y x^{'} y^{'} = x y^{'} - x^{'} y .$

◆Théorème 5.18Critère de colinéarité

Deux vecteurs non nuls $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

$u, v colin e ˊ aires ⟺ x y^{'} - x^{'} y = 0.$

Le déterminant mesure l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ . Elle est nulle exactement quand le parallélogramme est aplati, c'est-à-dire quand les deux vecteurs ont la même direction.

Démonstration. Sens direct. Si $u$ et $v$ sont colinéaires, il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ , c'est-à-dire $x^{'} = k x$ et $y^{'} = k y$ (proportionnalité des coordonnées). Alors

$x y^{'} - x^{'} y = x (k y) - (k x) y = k x y - k x y = 0.$

Réciproque. Supposons $x y^{'} - x^{'} y = 0$ . Comme $u$ est non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle, disons $x \neq = 0$ . Posons $k = \frac{x ^{'}}{x}$ . Alors $x^{'} = k x$ , et l'égalité $x y^{'} = x^{'} y = k x y$ donne, après division par $x \neq = 0$ , $y^{'} = k y$ . Ainsi $v = k u$ : les vecteurs sont colinéaires. (Le raisonnement est analogue si $y \neq = 0$ .) $□$

Méthode : Prouver un alignement ou un parallélisme

Alignement de $A$ , $B$ , $C$ : calculer les coordonnées de $A B$ et $A C$ , puis vérifier que leur déterminant est nul.
Parallélisme de $(A B)$ et $(C D)$ : vérifier que le déterminant de $A B$ et $C D$ est nul.

Exemple 5.19

$A (1; 2)$ , $B (3; 3)$ , $C (7; 5)$ sont-ils alignés ? $A B (2; 1)$ et $A C (6; 3)$ : $det = 2 \times 3 - 6 \times 1 = 0$ . Les points sont donc alignés.

5.8 Résoudre un problème de géométrie

Méthode : Choisir une méthode

Un même problème peut se traiter de plusieurs façons ; on choisit la plus efficace :

méthode vectorielle (sans repère) : relation de Chasles, colinéarité, milieux ;
méthode repérée : coordonnées, déterminant, distances ;
méthode géométrique : propriétés des figures (parallélogrammes, droites remarquables).

Exemple 5.20Un problème, deux méthodes

Soit $A (0; 0)$ , $B (4; 2)$ , $C (6; 6)$ , $D (2; 4)$ . Montrer que $A B C D$ est un parallélogramme.
Méthode repérée. $A B (4; 2)$ et $D C (4; 2)$ : comme $A B = D C$ , $A B C D$ est un parallélogramme.
Méthode par le milieu. Les diagonales $[A C]$ et $[B D]$ ont même milieu : celui de $[A C]$ est $(3; 3)$ , celui de $[B D]$ est $(3; 3)$ . Diagonales de même milieu $\Rightarrow$ parallélogramme.

Les deux méthodes se lisent sur la même figure : $A B = D C$ (côtés opposés parallèles et de même longueur), et les diagonales se coupent en leur milieu commun.

5.9 Approfondissements : barycentres et points de concours

Ces prolongements, hors du socle de la classe, prolongent le calcul vectoriel vers les barycentres et les grands points de concours du triangle.

Barycentre de deux ou trois points

Définition 5.21Barycentre

Soit $A$ , $B$ (resp. $A$ , $B$ , $C$ ) et des réels $α$ , $β$ (resp. $α$ , $β$ , $γ$ ) dont la somme n'est pas nulle. Le barycentre $G$ du système pondéré est l'unique point tel que

$α G A + β GB = 0 (resp. α G A + β GB + γ GC = 0) .$

Pour toute origine $O$ , on en déduit sa position :

$O G = \frac{α O A + β O B + γ O C}{α + β + γ} .$

Méthode : Construire le barycentre de deux points

Le barycentre $G$ de $(A, α)$ et $(B, β)$ est sur la droite $(A B)$ et vérifie $A G = \frac{β}{α + β} A B$ . Si $α$ et $β$ sont de même signe, $G$ est entre $A$ et $B$ , plus proche du point de plus grand coefficient.

Barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 2)$ : $G \in [A B]$ avec $A G = \frac{2}{3} A B$ , plus proche du point le plus lourd.

Exemple 5.22Un coefficient négatif

Si les coefficients sont de signes contraires, $G$ sort du segment. Le barycentre de $(A, 2)$ et $(B, - 1)$ vérifie $A G = \frac{- 1}{2 - 1} A B = - A B$ : le point $A$ est alors le milieu de $[GB]$ .

Coefficient négatif : $G$ est hors du segment $[A B]$ , du côté de $A$ (le point de plus grand coefficient).

iRemarqueSomme des coefficients nulle

Si la somme des coefficients est nulle, le barycentre n'existe pas. En effet, pour tout point $M$ , le vecteur $α M A + β M B$ (ou l'analogue avec trois points) est alors constant, indépendant de $M$ : aucun point ne peut l'annuler. Par exemple, $M A - M B = B A$ pour tout $M$ .

iRemarqueLe milieu est un barycentre

Le milieu de $[A B]$ est le barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 1)$ : avec $α = β = 1$ , on retrouve $O I = \frac{1}{2} (O A + O B)$ , d'où la formule des coordonnées du milieu $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .

Définition 5.23Isobarycentre

Lorsque les coefficients sont tous égaux, le barycentre est appelé isobarycentre (ou centre de gravité). Pour trois points :

$O G = \frac{1}{3} (O A + O B + O C), G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}) .$

Proposition 5.24Associativité du barycentre

Soit $G$ le barycentre de $(A, α)$ , $(B, β)$ , $(C, γ)$ , avec $α + β + γ \neq = 0$ . Si $α + β \neq = 0$ , notons $G_{1}$ le barycentre partiel de $(A, α)$ et $(B, β)$ . Alors $G$ est le barycentre de $(G_{1}, α + β)$ et $(C, γ)$ : on peut remplacer $A$ et $B$ par $G_{1}$ , affecté de la somme $α + β$ .

Démonstration. Pour toute origine $O$ , la définition du barycentre donne

$O G = \frac{α O A + β O B + γ O C}{α + β + γ} .$

Or $G_{1}$ vérifie $α O A + β O B = (α + β) O G_{1}$ . En remplaçant $α O A + β O B$ par $(α + β) O G_{1}$ :

$O G = \frac{( α + β ) O G _{1} + γ O C}{( α + β ) + γ},$

qui est exactement la position du barycentre de $(G_{1}, α + β)$ et $(C, γ)$ . $□$

Méthode : Construire le barycentre de trois points

D'après la proposition d'associativité, on remplace deux des points par leur barycentre partiel $G_{1}$ , affecté de la somme de leurs coefficients ; le barycentre cherché est alors celui de $G_{1}$ et du troisième point.

Barycentre de $(A, 1)$ , $(B, 1)$ , $(C, 2)$ par associativité : $G_{1}$ = milieu de $[A B]$ (barycentre de $(A, 1), (B, 1)$ ), puis $G$ = milieu de $[G_{1} C]$ (barycentre de $(G_{1}, 2), (C, 2)$ ).

Concours des médianes

◆Théorème 5.25L'isobarycentre est le point de concours des médianes

L'isobarycentre $G$ de trois points non alignés $A$ , $B$ , $C$ appartient aux trois médianes du triangle : celles-ci sont donc concourantes en $G$ . De plus, si $A^{'}$ est le milieu de $[B C]$ , alors $A G = \frac{2}{3} A A^{'}$ .

Démonstration. Soit $A^{'}$ le milieu de $[B C]$ ; alors $GB + GC = 2 G A^{'}$ . Comme $G$ est l'isobarycentre, $G A + GB + GC = 0$ , donc $G A = - 2 G A^{'}$ : les points $A$ , $G$ , $A^{'}$ sont alignés, c'est-à-dire $G \in (A A^{'})$ , et $A G = \frac{2}{3} A A^{'}$ . Le raisonnement est identique avec les sommets $B$ et $C$ , donc $G$ appartient aux trois médianes. $□$

Les trois médianes concourent au centre de gravité $G$ , isobarycentre de $A$ , $B$ , $C$ : $G$ est aux deux tiers de chaque médiane depuis le sommet ( $A G = \frac{2}{3} A A^{'}$ ).

Aire d'un triangle

Proposition 5.26Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle vaut $A = \frac{1}{2} ab sin C$ , où $a$ et $b$ sont deux côtés et $C$ l'angle qu'ils forment. Dans un repère orthonormé,

$A = \frac{1}{2} det (A B; A C) .$

La diagonale $[B C]$ partage le parallélogramme en deux triangles superposables : l'aire du triangle $A B C$ est la moitié de $∣ det ∣$ .

Médiatrices, hauteurs et cercle circonscrit

◆Théorème 5.27Concours des médiatrices

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point $O$ équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Démonstration. La médiatrice de $[A B]$ est l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$ . Notons $O$ le point d'intersection des médiatrices de $[A B]$ et de $[A C]$ (non parallèles, car $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés). Alors $O A = O B$ et $O A = O C$ , donc $O B = O C$ : $O$ appartient aussi à la médiatrice de $[B C]$ . Les trois médiatrices passent par $O$ , et $O A = O B = O C$ est le rayon du cercle circonscrit. $□$

Les trois médiatrices (en tirets) concourent au centre $O$ du cercle circonscrit, équidistant des sommets.

◆Théorème 5.28Concours des hauteurs

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes ; leur point commun est l'orthocentre.

Démonstration. Traçons par $A$ , $B$ , $C$ les parallèles aux côtés opposés $(B C)$ , $(C A)$ , $(A B)$ : elles forment un triangle $A^{'} B^{'} C^{'}$ dont $A$ , $B$ , $C$ sont les milieux des côtés (les quadrilatères obtenus sont des parallélogrammes). La hauteur de $A B C$ issue de $A$ est perpendiculaire à $(B C)$ , donc à $(B^{'} C^{'})$ qui lui est parallèle, et elle passe par $A$ , milieu de $[B^{'} C^{'}]$ : c'est la médiatrice de $[B^{'} C^{'}]$ . De même pour les deux autres. Les trois hauteurs de $A B C$ sont donc les trois médiatrices de $A^{'} B^{'} C^{'}$ : elles sont concourantes d'après le théorème précédent. $□$

Les trois hauteurs (en vert) concourent à l'orthocentre $H$ ; chacune est perpendiculaire au côté opposé.

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