Algèbre

Cours · mathématiques (seconde), chapitre 4 · seconde générale · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un carré de côté a + b découpé en a², deux rectangles ab et b².

L'algèbre est l'art de calculer avec des lettres. Ce chapitre consolide les règles de calcul sur les puissances et les racines, apprend à transformer des expressions (les développer, les factoriser, les simplifier), à résoudre équations et inéquations du premier degré, et à étudier le signe d'un produit ou d'un quotient. Ces outils sont au cœur de la résolution de problèmes et préparent directement l'étude des fonctions.

4.1 Puissances et racines carrées

ImportantRègles de calcul sur les puissances

Pour $a$ et $b$ réels non nuls et $n, p$ entiers relatifs :

$a^{n} \times a^{p} = a^{n + p}, \frac{a ^{n}}{a ^{p}} = a^{n - p}, (a^{n})^{p} = a^{n p}, (ab)^{n} = a^{n} b^{n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a^{0} = 1.$

Exemple 4.1

$\frac{2 ^{5} \times 2 ^{- 3}}{2 ^{- 1}} = 2^{5 - 3 - (- 1)} = 2^{3} = 8$ ; $(3 x^{2})^{3} = 3^{3} x^{6} = 27 x^{6}$ .

ImportantRègles de calcul sur les racines carrées

Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

$a \times b = ab, \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (b > 0), (a)^{2} = a .$

En général, $a + b \neq = a + b$ .

◆Théorème 4.2Relation

a^{2} = ∣ a ∣

Pour tout réel $a$ , $a^{2} = ∣ a ∣$ .

iRemarque

Attention à ne pas écrire « $a^{2} = a$ » : c'est faux quand $a < 0$ . Par exemple $(- 3)^{2} = 9 = 3 = ∣ - 3 ∣$ . La valeur absolue (chapitre 3) est indispensable ici.

Démonstration : $ab = a b$

◆Théorème 4.3Racine d'un produit

Pour tous réels positifs $a$ et $b$ , $ab = a b$ .

Démonstration. Posons $x = a b$ . Comme $a \geq 0$ et $b \geq 0$ , les nombres $a$ et $b$ existent et sont positifs, donc leur produit $x$ est positif ou nul. Calculons son carré :

$x^{2} = (a b)^{2} = (a)^{2} (b)^{2} = a b .$

Ainsi $x$ est un nombre positif dont le carré vaut $ab$ : par définition de la racine carrée, $x = ab$ . On a donc bien $ab = a b$ . $□$

Méthode : Simplifier une racine

Pour écrire $n$ sous la forme $k m$ , on isole le plus grand carré parfait divisant $n$ : $n = k^{2} \times m = k m$ .

Exemple 4.4

$50 = 25 \times 2 = 52$ ; $12 \times 3 = 36 = 6$ ; $a^{2} = ∣ a ∣$ donne $(x - 1)^{2} = ∣ x - 1∣$ .

4.2 Expressions algébriques et fractionnaires

ImportantÉcritures additives et multiplicatives

Automatismes du calcul littéral, à mobiliser sans hésitation (dénominateurs non nuls) :

expressions additives : $- (a + b) = - a - b$ et $- (a - b) = b - a$ ;
un, zéro, opposé : $x = 1 \times x = \frac{x}{1}$ ; $(- 1) \times a = \frac{a}{- 1} = - a$ ; $0 = 0 x$ ; $\frac{0}{a} = 0$ ;
produits et quotients : $\frac{x}{a} = \frac{1}{a} x$ et $\frac{a b}{c} = a \times \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \times b$ ;
fractions de fractions : $\frac{a}{1} = a$ ; $\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$ ; $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$ .

Exemple 4.5

$\frac{3 x}{5} = \frac{3}{5} x$ (utile pour lire une pente) ; $\frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$ ; $\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{7}} = \frac{2}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{15}$ ; $- (x - 4) = 4 - x$ .

ImportantDévelopper, factoriser

$k (a + b) = k a + k b, (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d,$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}, (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} .$

Exercices du chapitre

Cinq simplifications de puissances et de racines corrigé
Simplifier un quotient en factorisant corrigé
Deux quotients réunis en un seul corrigé
Isoler la variable demandée dans trois formules corrigé
Une évolution en différence et en rapport corrigé
Une équation, une inéquation, un carré corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre