Algèbre

Cours complet · mathématiques (seconde), chapitre 4 · seconde générale

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L'algèbre est l'art de calculer avec des lettres. Ce chapitre consolide les règles de calcul sur les puissances et les racines, apprend à transformer des expressions (les développer, les factoriser, les simplifier), à résoudre équations et inéquations du premier degré, et à étudier le signe d'un produit ou d'un quotient. Ces outils sont au cœur de la résolution de problèmes et préparent directement l'étude des fonctions.

4.1 Puissances et racines carrées

ImportantRègles de calcul sur les puissances

Pour $a$ et $b$ réels non nuls et $n, p$ entiers relatifs :

$a^{n} \times a^{p} = a^{n + p}, \frac{a ^{n}}{a ^{p}} = a^{n - p}, (a^{n})^{p} = a^{n p}, (ab)^{n} = a^{n} b^{n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a^{0} = 1.$

Exemple 4.1

$\frac{2 ^{5} \times 2 ^{- 3}}{2 ^{- 1}} = 2^{5 - 3 - (- 1)} = 2^{3} = 8$ ; $(3 x^{2})^{3} = 3^{3} x^{6} = 27 x^{6}$ .

ImportantRègles de calcul sur les racines carrées

Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

$a \times b = ab, \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (b > 0), (a)^{2} = a .$

En général, $a + b \neq = a + b$ .

◆Théorème 4.2Relation

a^{2} = ∣ a ∣

Pour tout réel $a$ , $a^{2} = ∣ a ∣$ .

iRemarque

Attention à ne pas écrire « $a^{2} = a$ » : c'est faux quand $a < 0$ . Par exemple $(- 3)^{2} = 9 = 3 = ∣ - 3 ∣$ . La valeur absolue (chapitre 3) est indispensable ici.

Démonstration : $ab = a b$

◆Théorème 4.3Racine d'un produit

Pour tous réels positifs $a$ et $b$ , $ab = a b$ .

Démonstration. Posons $x = a b$ . Comme $a \geq 0$ et $b \geq 0$ , les nombres $a$ et $b$ existent et sont positifs, donc leur produit $x$ est positif ou nul. Calculons son carré :

$x^{2} = (a b)^{2} = (a)^{2} (b)^{2} = a b .$

Ainsi $x$ est un nombre positif dont le carré vaut $ab$ : par définition de la racine carrée, $x = ab$ . On a donc bien $ab = a b$ . $□$

Méthode : Simplifier une racine

Pour écrire $n$ sous la forme $k m$ , on isole le plus grand carré parfait divisant $n$ : $n = k^{2} \times m = k m$ .

Exemple 4.4

$50 = 25 \times 2 = 52$ ; $12 \times 3 = 36 = 6$ ; $a^{2} = ∣ a ∣$ donne $(x - 1)^{2} = ∣ x - 1∣$ .

4.2 Expressions algébriques et fractionnaires

ImportantÉcritures additives et multiplicatives

Automatismes du calcul littéral, à mobiliser sans hésitation (dénominateurs non nuls) :

expressions additives : $- (a + b) = - a - b$ et $- (a - b) = b - a$ ;
un, zéro, opposé : $x = 1 \times x = \frac{x}{1}$ ; $(- 1) \times a = \frac{a}{- 1} = - a$ ; $0 = 0 x$ ; $\frac{0}{a} = 0$ ;
produits et quotients : $\frac{x}{a} = \frac{1}{a} x$ et $\frac{a b}{c} = a \times \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \times b$ ;
fractions de fractions : $\frac{a}{1} = a$ ; $\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$ ; $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$ .

Exemple 4.5

$\frac{3 x}{5} = \frac{3}{5} x$ (utile pour lire une pente) ; $\frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$ ; $\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{7}} = \frac{2}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{15}$ ; $- (x - 4) = 4 - x$ .

ImportantDévelopper, factoriser

$k (a + b) = k a + k b, (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d,$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}, (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} .$

Le carré de côté $a + b$ se découpe en quatre morceaux : deux carrés $a^{2}$ et $b^{2}$ , et deux rectangles $ab$ — d'où le double produit $2 ab$ .

Un carré $a^{2}$ privé d'un coin $b^{2}$ se découpe en deux morceaux qui se recollent en un rectangle de côtés $a - b$ et $a + b$ : c'est l'identité $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Méthode : Simplifier une expression fractionnaire

réduire au même dénominateur pour additionner ou soustraire ;
factoriser numérateur et dénominateur ;
simplifier les facteurs communs (en gardant à l'esprit les valeurs interdites qui annulent un dénominateur).

Exemple 4.6

Simplifier $F = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x}$ pour $x \neq = 0$ et $x \neq = - 3$ :

$F = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x} (x \neq = - 3) .$

Exemple 4.7

Calculer $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$ (pour $x \neq = 0$ et $x \neq = - 1$ ) :

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{2 ( x + 1 ) + 3 x}{x ( x + 1 )} = \frac{5 x + 2}{x ( x + 1 )} .$

Méthode : Choisir la forme adaptée d'une expression

Une même expression possède plusieurs écritures ; on choisit celle qui répond à la question :

la forme développée réduite pour calculer une image ou reconnaître un polynôme ;
la forme factorisée pour résoudre une équation ( $= 0$ ) ou étudier un signe.

4.3 Exprimer une variable en fonction des autres

Méthode : Isoler une variable dans une formule

On applique aux deux membres les mêmes opérations (ajouter, soustraire, multiplier, diviser, prendre une racine) jusqu'à isoler la variable cherchée.

Exemple 4.8

Quelques relations usuelles des sciences :

$U = R I S = π r^{2} V = π r^{2} h \Rightarrow I = \frac{U}{R}; \Rightarrow r = \frac{S}{π} (r > 0); \Rightarrow h = \frac{V}{π r ^{2}} . d = v t V = ab c \Rightarrow t = \frac{d}{v}; \Rightarrow c = \frac{V}{ab};$

Isoler une variable, c'est répondre à une question de géométrie ou de physique : « quelle hauteur $h$ donner au cylindre pour qu'il contienne $V$ litres ? »

Exemple 4.9Relation du premier degré

a x + b y = c

De $2 x + 3 y = 12$ , on tire $y$ en fonction de $x$ : $3 y = 12 - 2 x$ , donc $y = \frac{12 - 2 x}{3} = 4 - \frac{2}{3} x$ .

4.4 Ordre : sommes, produits, comparaisons

Proposition 4.10Opérations sur les inégalités

Pour tous réels $a, b, c, d$ :

Somme d'inégalités : si $a \leq b$ et $c \leq d$ , alors $a + c \leq b + d$ .
Produit par un réel positif : si $a \leq b$ et $k > 0$ , alors $k a \leq k b$ (le sens est conservé).
Produit par un réel négatif : si $a \leq b$ et $k < 0$ , alors $k a \geq k b$ (le sens est inversé).

iRemarqueLien avec le sens de variation d'une fonction affine

Cette remarque anticipe sur des notions étudiées plus loin dans l'année (fonctions affines et sens de variation : voir chapitres 8 et 9) ; on peut la lire une première fois sans chercher à tout justifier. Multiplier par $k$ revient à appliquer la fonction affine $x \mapsto k x$ : elle est croissante si $k > 0$ (l'ordre est conservé) et décroissante si $k < 0$ (l'ordre est inversé). C'est la raison profonde du changement de sens.

$1 \leq 3$ , mais $- 2 \geq - 6$ : en multipliant par $- 2$ , les flèches se croisent — l'ordre s'inverse.

Définition 4.11Comparaison additive et multiplicative

Pour comparer deux quantités $a$ et $b$ :

la comparaison additive utilise la différence $a - b$ : si $a - b > 0$ alors $a > b$ (variation additive : « $a$ dépasse $b$ de $a - b$ ») ;
la comparaison multiplicative, pour $a$ et $b$ strictement positifs, utilise le rapport $\frac{a}{b}$ : si $\frac{a}{b} > 1$ alors $a > b$ (variation multiplicative : « $a$ vaut $\frac{a}{b}$ fois $b$ »).

Exemple 4.12

Un prix passe de $b = 80$ € à $a = 92$ €. Comparaison additive : $a - b = 12$ , soit $+ 12$ €. Comparaison multiplicative : $\frac{a}{b} = \frac{92}{80} = 1, 15$ , soit une hausse de $15 %$ .

4.5 Équations et inéquations du premier degré

Proposition 4.13Équation et inéquation du premier degré

Soit $a \neq = 0$ et $b$ des réels.

L'équation $a x + b = 0$ admet une unique solution $x = - \frac{b}{a}$ .
L'inéquation $a x + b > 0$ a pour solutions $x > - \frac{b}{a}$ si $a > 0$ , et $x < - \frac{b}{a}$ si $a < 0$ (le sens s'inverse).

Méthode : Résoudre $a x + b = c x + d$ ou une inéquation associée

Regrouper les termes en $x$ d'un côté, les constantes de l'autre, puis diviser par le coefficient de $x$ — en inversant le sens de l'inégalité si ce coefficient est négatif.

Exemple 4.14

Résoudre $5 x - 3 = 2 x + 9$ : $3 x = 12$ , donc $x = 4$ ; solution ${4}$ .
Résoudre $- 2 x + 1 \geq 7$ : $- 2 x \geq 6$ , donc $x \leq - 3$ (division par $- 2 < 0$ ) ; solutions $] - \infty; - 3]$ .

On représente l'ensemble des solutions sur la droite numérique : demi-droite jusqu'à $- 3$ , crochet fermé tourné vers les solutions ( $- 3$ est solution).

Méthode : Modéliser un problème par une inéquation

On nomme l'inconnue, on traduit l'énoncé (« au plus », « au moins », « ne pas dépasser ») par une inégalité, on la résout, puis on interprète les solutions dans le contexte.

Exemple 4.15

Un abonnement coûte $15$ € par mois ; on dispose de $100$ €. Combien de mois $x$ peut-on payer ? On résout $15 x \leq 100$ , soit $x \leq \frac{100}{15} \approx 6, 67$ . Comme $x$ est entier, on peut payer au plus $6$ mois.

4.6 Équation produit nul et étude de signe

Proposition 4.16Équation produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

$A (x) B (x) = 0 ⟺ A (x) = 0 ou B (x) = 0.$

Exemple 4.17

Résoudre $(2 x - 6) (x + 1) = 0$ : $2 x - 6 = 0$ ou $x + 1 = 0$ , d'où $x = 3$ ou $x = - 1$ . Solutions ${- 1; 3}$ .

Méthode : Étudier le signe d'un produit $A (x) B (x)$

On dresse un tableau de signes :

déterminer le signe de chaque facteur du premier degré (un facteur $a x + b$ avec $a \neq = 0$ s'annule en $- \frac{b}{a}$ et y change de signe) ;
reporter les signes ligne par ligne ;
appliquer la règle des signes pour obtenir celui du produit.

Exemple 4.18

Signe de $P (x) = (x + 1) (x - 3)$ :

$x x + 1 x - 3 P (x) - \infty - - + - 1 0 ∣ 0 + - - 3 ∣ 00 + + + + \infty$

Ainsi $P (x) > 0$ sur $] - \infty; - 1 [\cup] 3; + \infty [$ , et $P (x) < 0$ sur $] - 1; 3 [$ .

Le tableau de signes se lit sur la droite numérique : $P$ s'annule en $- 1$ et $3$ et change de signe en chacune de ces racines.

iRemarqueSigne d'un quotient

Le signe d'un quotient $\frac{A ( x )}{B ( x )}$ s'obtient par la même règle des signes, avec une différence essentielle : la valeur qui annule le dénominateur $B (x)$ est une valeur interdite (on la marque d'une double barre dans le tableau, le quotient n'y est pas défini).

4.7 Équation quotient $\frac{A ( x )}{B ( x )} = k$

Méthode : Résoudre une équation quotient

déterminer l'ensemble de définition en excluant les valeurs qui annulent $B (x)$ ;
multiplier les deux membres par $B (x)$ (non nul) : l'équation devient $A (x) = k B (x)$ ;
résoudre, puis vérifier que les solutions ne sont pas des valeurs interdites.

Exemple 4.19

Résoudre $\frac{2 x + 1}{x - 3} = 5$ . Valeur interdite : $x \neq = 3$ . On a $2 x + 1 = 5 (x - 3)$ , soit $2 x + 1 = 5 x - 15$ , donc $16 = 3 x$ et $x = \frac{16}{3}$ . Comme $\frac{16}{3} \neq = 3$ , la solution est ${\frac{16}{3}}$ .

4.8 Algorithme : première puissance dépassant un seuil

Pour un nombre $q > 1$ et un seuil $S$ , on cherche le plus petit exposant $n$ tel que $q^{n} > S$ : on multiplie tant que le seuil n'est pas franchi.


def premiere_puissance_sup(q, S):
    # plus petit entier n tel que q**n > S  (avec q > 1)
    n = 0
    while q ** n <= S:
        n = n + 1
    return n

Exemple 4.20

premiere_puissance_sup(2, 1000) renvoie $10$ car $2^{9} = 512 \leq 1000$ et $2^{10} = 1024 > 1000$ . Pour un nombre $0 < q < 1$ , la même structure (avec la condition q ** n >= S) donne la première puissance inférieure à un seuil.

Les puissances de $2$ doublent à chaque pas : $2^{9} = 512$ reste sous le seuil, $2^{10} = 1024$ le franchit — la fonction renvoie $10$ .

4.9 Approfondissements

Proposition 4.21Développements remarquables d'ordre supérieur

$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c, (a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} .$

iRemarqueInégalité des moyennes

Pour deux réels strictement positifs $a$ et $b$ , la moyenne géométrique ne dépasse jamais la moyenne arithmétique :

$ab \leq \frac{a + b}{2} .$

Cela découle de $(a - b)^{2} \geq 0$ , c'est-à-dire $a + b - 2 ab \geq 0$ . L'égalité a lieu si et seulement si $a = b$ .

Sur un demi-cercle de diamètre $a + b$ : la hauteur issue du point de partage vaut $ab$ , et le rayon vaut $\frac{a + b}{2}$ . Une hauteur ne dépasse jamais le rayon !

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