Nombres réels

Au collège, on a appris à comparer des nombres et à résoudre des inéquations du premier degré. Ce chapitre rassemble tous les nombres sur une même droite numérique : l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels. On y introduit une notion nouvelle, l'intervalle, qui décrit un ensemble de nombres vérifiant des inégalités, et la valeur absolue, qui mesure la distance entre deux réels.

3.1 L'ensemble $\mathbb{R}$ et la droite numérique

3.2 Intervalles de $\mathbb{R}$

Un intervalle est l'ensemble des réels compris entre deux bornes ; c'est une portion « d'un seul tenant » de la droite numérique.

Du côté de l'infini, il n'y a pas de borne à inclure : le crochet reste ouvert et la demi-droite se prolonge par une flèche.

3.3 Valeur absolue et distance

La valeur absolue se lit sur la droite numérique : $|a|$ est la distance de $a$ à $0$ (vert), et $|b-a|$ la distance entre $a$ et $b$ (orange).

3.4 Inéquation $|x-a|\le r$ et intervalle centré

3.5 Nombres décimaux et encadrement

En « zoomant » sur la droite numérique, on affine l'encadrement : $3,1\le \pi <3,2$ puis $3,14\le \pi <3,15$.

Une première démonstration : $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal

Démonstration (par l'absurde). Supposons que $\frac{1}{3}$ soit décimal. Il s'écrit alors $\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ entier naturel. En multipliant en croix, on obtient

$$10^n=3a,$$

donc $10^n$ serait un multiple de $3$. Or $10^n$ s'écrit « $1$ suivi de $n$ zéros » : la somme de ses chiffres vaut $1$, qui n'est pas un multiple de $3$. D'après le critère de divisibilité par $3$ (chapitre 2), $10^n$ n'est donc pas un multiple de $3$. C'est une contradiction : $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal. $\square$

3.6 Notation scientifique et ordres de grandeur

Un automatisme du collège, réactivé ici : écrire un nombre décimal à l'aide d'une puissance de $10$ permet de manier commodément de très grands ou de très petits nombres, et d'en estimer rapidement l'ordre de grandeur.

Sur cette frise, un pas correspond à une multiplication par $10$ : le cheveu ($7\times 10^{-5}$ m) est dix fois plus large que le globule rouge ($7\times 10^{-6}$ m), et le diamètre de la Terre dépasse la taille d'un homme de sept ordres de grandeur.

3.7 Nombres rationnels et nombres irrationnels

Chaque famille contient la précédente ; les décimaux $\mathbb{D}$ s'intercalent entre $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$. En bordure de $\mathbb{R}$ : les irrationnels.

La géométrie fournit des irrationnels : la diagonale du carré de côté $1$ mesure $\sqrt{2}$, le périmètre du cercle de rayon $1$ vaut $2\pi$.

Une deuxième démonstration : $\sqrt{2}$ est irrationnel

Démonstration (par l'absurde). Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. On peut alors l'écrire sous forme de fraction irréductible $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ (chapitre 2), avec $p$ et $q$ entiers sans diviseur commun autre que $1$. En élevant au carré :

$$2=\frac{p^2}{q^2},\text{donc}{p}^2=2q^2.$$

Ainsi $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (chapitre 2 : un entier et son carré ont la même parité). Écrivons $p=2k$. Alors $p^2=4k^2=2q^2$, d'où $q^2=2k^2$ : $q^2$ est pair, donc $q$ est pair lui aussi. Mais alors $p$ et $q$ sont tous deux divisibles par $2$, ce qui contredit le fait que la fraction $\frac{p}{q}$ est irréductible. L'hypothèse est donc intenable : $\sqrt{2}$ est irrationnel. $\square$

3.8 Algorithme : encadrer $\sqrt{2}$ par balayage

Puisque $\sqrt{2}$ est irrationnel, on ne peut pas l'écrire exactement ; on cherche à l'encadrer d'aussi près que l'on veut. La méthode du balayage avance pas à pas depuis $1$ tant que le carré reste inférieur à $2$.

def encadrement_racine2(n):
    # Encadre sqrt(2) avec une amplitude 10^(-n), par balayage
    pas = 10 ** (-n)
    x = 1
    while (x + pas) ** 2 <= 2:
        x = x + pas
    return x, x + pas       # x <= sqrt(2) < x + pas

Balayage au pas de $0,1$ : on avance tant que le carré ne dépasse pas $2$, et l'on s'arrête juste avant $\sqrt{2}$ ; d'où $1,4\le \sqrt{2}<1,5$.

    return round(x, n), round(x + pas, n)