Nombres réels
Cours · mathématiques (seconde), chapitre 3 · seconde générale · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Au collège, on a appris à comparer des nombres et à résoudre des inéquations du premier degré. Ce chapitre rassemble tous les nombres sur une même droite numérique : l'ensemble des nombres réels. On y introduit une notion nouvelle, l'intervalle, qui décrit un ensemble de nombres vérifiant des inégalités, et la valeur absolue, qui mesure la distance entre deux réels.
3.1 L'ensemble et la droite numérique
L'ensemble des nombres réels, noté , est l'ensemble de tous les nombres que l'on peut placer sur une droite graduée, appelée droite numérique (ou droite réelle). À chaque point de la droite correspond un unique réel, son abscisse, et réciproquement.
Méthode : Lire et placer une abscisse
Pour lire l'abscisse d'un point, on repère sa position par rapport aux graduations et l'on estime, si besoin, la fraction de carreau. Pour placer un réel d'abscisse donnée, on part de et on se déplace vers la droite (nombre positif) ou vers la gauche (nombre négatif) de la distance correspondante.
3.2 Intervalles de
Un intervalle est l'ensemble des réels compris entre deux bornes ; c'est une portion « d'un seul tenant » de la droite numérique.
Soit et deux réels avec .
| Intervalle | Ensemble des réels tels que | Bornes |
|---|---|---|
| fermé (bornes comprises) | ||
| ouvert (bornes exclues) | ||
| semi-ouvert | ||
| non borné à droite | ||
| non borné à gauche |
Un crochet fermé inclut la borne (point plein) ; un crochet ouvert l'exclut (point creux). Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert.
Du côté de l'infini, il n'y a pas de borne à inclure : le crochet reste ouvert et la demi-droite se prolonge par une flèche.
Méthode : Un réel appartient-il à un intervalle ?
On compare le réel aux deux bornes : il appartient à l'intervalle si les inégalités correspondantes sont vérifiées, en tenant compte du caractère ouvert ou fermé de chaque borne.
Avec : on a (borne fermée) et , mais (borne ouverte) et .
3.3 Valeur absolue et distance
La valeur absolue d'un réel , notée , est la distance de à sur la droite numérique :
, , . Une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
La distance entre deux réels et sur la droite numérique est