Arithmétique
Cours · mathématiques (seconde), chapitre 2 · seconde générale · le début du chapitre, la suite sur Adloun
L'arithmétique est l'étude des nombres entiers et de leurs propriétés. Dans ce chapitre, on apprend à reconnaître les multiples et les diviseurs d'un entier, à distinguer les nombres pairs des nombres impairs, et à écrire une fraction sous sa forme la plus simple. Au-delà du calcul, l'arithmétique est aussi une première occasion de démontrer : on y raisonne sur tous les entiers à la fois, en les écrivant sous la forme ou .
2.1 Les ensembles et
L'ensemble des entiers naturels est
L'ensemble des entiers relatifs (les entiers naturels et leurs opposés) est
On note (resp. ) l'ensemble (resp. ) privé de .
Tout entier naturel est un entier relatif : on dit que est inclus dans , et l'on écrit . Par exemple et , tandis que mais .
, et appartiennent à . Les nombres et appartiennent à mais pas à . En revanche, et ne sont pas des entiers : ils n'appartiennent ni à , ni à .
Sur la droite des entiers : tout entier ; la partie encadrée, à partir de , est .
2.2 Multiples et diviseurs
Soit et deux entiers. On dit que est un multiple de lorsqu'il existe un entier tel que
On dit alors, de façon équivalente, que est un diviseur de , ou que divise .
est un multiple de car (on a pris ). On dit aussi que divise .
Les multiples positifs de sont ; ce sont les nombres de la forme avec entier positif (en prenant négatif, on obtient aussi les multiples ).
Les diviseurs positifs de sont et : ce sont les entiers par lesquels on peut diviser « sans reste ».
Les multiples de sur la droite des entiers : on les atteint par sauts de longueur à partir de .
Les diviseurs vont par paires : jetons se rangent en rectangle de , ou , d'où les six diviseurs .
est un multiple de tout entier , car . Par ailleurs, divise tout entier, et tout entier est un multiple de lui-même ().