Arithmétique

Cours complet · mathématiques (seconde), chapitre 2 · seconde générale

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L'arithmétique est l'étude des nombres entiers et de leurs propriétés. Dans ce chapitre, on apprend à reconnaître les multiples et les diviseurs d'un entier, à distinguer les nombres pairs des nombres impairs, et à écrire une fraction sous sa forme la plus simple. Au-delà du calcul, l'arithmétique est aussi une première occasion de démontrer : on y raisonne sur tous les entiers à la fois, en les écrivant sous la forme $2 k$ ou $2 k + 1$ .

2.1 Les ensembles $N$ et $Z$

Définition 2.1Entiers naturels et entiers relatifs

L'ensemble des entiers naturels est

$N = {0; 1; 2; 3; \dots} .$

L'ensemble des entiers relatifs (les entiers naturels et leurs opposés) est

$Z = {\dots; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; \dots} .$

On note $N^{*}$ (resp. $Z^{*}$ ) l'ensemble $N$ (resp. $Z$ ) privé de $0$ .

iRemarque

Tout entier naturel est un entier relatif : on dit que $N$ est inclus dans $Z$ , et l'on écrit $N \subset Z$ . Par exemple $5 \in N$ et $5 \in Z$ , tandis que $- 5 \in Z$ mais $- 5 \in / N$ .

Exemple 2.2

$0$ , $7$ et $128$ appartiennent à $N$ . Les nombres $- 3$ et $- 40$ appartiennent à $Z$ mais pas à $N$ . En revanche, $\frac{1}{2}$ et $2$ ne sont pas des entiers : ils n'appartiennent ni à $N$ , ni à $Z$ .

Sur la droite des entiers : $Z$ tout entier ; la partie encadrée, à partir de $0$ , est $N$ .

2.2 Multiples et diviseurs

Définition 2.3Multiple et diviseur

Soit $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $a$ est un multiple de $b$ lorsqu'il existe un entier $k$ tel que

$a = k b .$

On dit alors, de façon équivalente, que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $b$ divise $a$ .

Exemple 2.4

$∙$ $12$ est un multiple de $3$ car $12 = 4 \times 3$ (on a pris $k = 4$ ). On dit aussi que $3$ divise $12$ .

$∙$ Les multiples positifs de $5$ sont $0, 5, 10, 15, 20, \dots$ ; ce sont les nombres de la forme $5 k$ avec $k$ entier positif (en prenant $k$ négatif, on obtient aussi les multiples $- 5, - 10, \dots$ ).

$∙$ Les diviseurs positifs de $12$ sont $1, 2, 3, 4, 6$ et $12$ : ce sont les entiers par lesquels on peut diviser $12$ « sans reste ».

Les multiples de $3$ sur la droite des entiers : on les atteint par sauts de longueur $3$ à partir de $0$ .

Les diviseurs vont par paires : $12$ jetons se rangent en rectangle de $1 \times 12$ , $2 \times 6$ ou $3 \times 4$ , d'où les six diviseurs $1, 2, 3, 4, 6, 12$ .

iRemarque

$0$ est un multiple de tout entier $b$ , car $0 = 0 \times b$ . Par ailleurs, $1$ divise tout entier, et tout entier $a$ est un multiple de lui-même ( $a = 1 \times a$ ).

ImportantReconnaître les multiples les plus courants

Ces critères, connus depuis le collège, permettent de repérer un multiple sans poser de division. Un entier est :

multiple de 2 si son chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$ (c'est un nombre pair) ;
multiple de 5 si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
multiple de 10 s'il se termine par $0$ ;
multiple de 3 (resp. de 9) si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$ (resp. de $9$ ).

Exemple 2.5

Le nombre $1242$ : son chiffre des unités est $2$ , donc il est multiple de $2$ . La somme de ses chiffres vaut $1 + 2 + 4 + 2 = 9$ , multiple de $9$ : donc $1242$ est multiple de $9$ (et de $3$ ).

Méthode : Déterminer si $a$ est un multiple de $b$

Pour savoir si un entier $a$ est un multiple d'un entier $b$ (avec $b \neq = 0$ ), on effectue la division de $a$ par $b$ :

si la division « tombe juste » (reste nul), alors $a$ est un multiple de $b$ ;
sinon, $a$ n'est pas un multiple de $b$ .

Exemple 2.6

$91$ est-il un multiple de $7$ ? On calcule $91 \div 7 = 13$ exactement, donc $91 = 13 \times 7$ : oui, $91$ est un multiple de $7$ . En revanche $92 \div 7$ ne tombe pas juste, donc $92$ n'est pas un multiple de $7$ .

Découper une longueur en tronçons de $7$ : quand il ne reste rien, le nombre est un multiple de $7$ .

Une première démonstration

◆Théorème 2.7Somme de deux multiples

Soit $a$ un entier. La somme de deux multiples de $a$ est encore un multiple de $a$ .

Démonstration. Prenons deux multiples de $a$ . Par définition, ils s'écrivent $ak$ et $a k^{'}$ avec $k$ et $k^{'}$ entiers. Leur somme est

$ak + a k^{'} = a (k + k^{'}) .$

Comme $k + k^{'}$ est un entier, ce nombre est bien de la forme $a \times (entier)$ : c'est un multiple de $a$ . $□$

iRemarque

La démonstration porte sur un entier $a$ quelconque : c'est ce qui la rend valable pour toutes les valeurs de $a$ à la fois. Vérifions-la sur un exemple numérique, avec $a = 7$ : $35 = 7 \times 5$ et $63 = 7 \times 9$ sont deux multiples de $7$ , et leur somme $35 + 63 = 7 (5 + 9) = 98 = 7 \times 14$ est bien un multiple de $7$ .

Deux algorithmes

Les deux fonctions Python suivantes automatisent des questions du chapitre. En Python, a % b désigne le reste de la division de $a$ par $b$ : il vaut $0$ exactement lorsque $b$ divise $a$ .

Méthode : Déterminer si $a$ est multiple de $b$

La fonction traduit directement ce test sur le reste :


def est_multiple(a, b):
    # Renvoie True si a est un multiple de b, False sinon
    return a % b == 0

Ainsi est_multiple(91, 7) renvoie True et est_multiple(92, 7) renvoie False.

Méthode : Plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$

Les multiples de $a$ sont $0, a, 2 a, 3 a, \dots$ Pour trouver le plus grand qui ne dépasse pas $b$ , on calcule combien de fois $a$ « tient » dans $b$ (quotient entier b // a), puis on multiplie par $a$ .


def plus_grand_multiple(a, b):
    # Plus grand multiple de a inférieur ou égal à b
    q = b // a          # nombre de fois où a tient dans b
    return q * a

Par exemple, plus_grand_multiple(7, 50) renvoie $49 = 7 \times 7$ , le plus grand multiple de $7$ inférieur ou égal à $50$ .

2.3 Nombres pairs et nombres impairs

Définition 2.8Nombre pair, nombre impair

Un entier $n$ est :

pair s'il est un multiple de $2$ , c'est-à-dire s'il s'écrit $n = 2 k$ avec $k$ entier ;
impair s'il s'écrit $n = 2 k + 1$ avec $k$ entier.

Tout entier est soit pair, soit impair (jamais les deux à la fois).

Exemple 2.9

$∙$ $18 = 2 \times 9$ est pair. $∙$ $23 = 2 \times 11 + 1$ est impair.

$∙$ $0 = 2 \times 0$ est pair. $∙$ $- 7 = 2 \times (- 4) + 1$ est impair.

Un nombre pair se range en deux rangées égales ; un nombre impair laisse toujours un élément isolé (orange).

Proposition 2.10Parité d'une somme

La somme de deux nombres pairs est paire ; la somme de deux nombres impairs est paire ; la somme d'un pair et d'un impair est impaire.

« Impair $+$ impair $=$ pair » : les deux jetons isolés (orange) se regroupent en une paire. « Pair $+$ impair $=$ impair » : le jeton isolé n'a personne avec qui s'apparier.

Méthode : Raisonner selon la parité

Pour démontrer une propriété portant sur un entier $n$ , on distingue souvent deux cas : $n$ pair (on pose $n = 2 k$ ) et $n$ impair (on pose $n = 2 k + 1$ ), puis on conclut dans chacun d'eux.

Une deuxième démonstration

◆Théorème 2.11Le carré d'un nombre impair est impair

Si un entier $n$ est impair, alors son carré $n^{2}$ est impair.

Démonstration. Supposons $n$ impair. Par définition, il existe un entier $k$ tel que $n = 2 k + 1$ . Alors

$n^{2} = (2 k + 1)^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1.$

Le nombre $2 k^{2} + 2 k$ est un entier ; on a donc écrit $n^{2}$ sous la forme $2 K + 1$ avec $K = 2 k^{2} + 2 k$ . Ainsi $n^{2}$ est impair. $□$

Exemple 2.12

$n = 7$ est impair, et $7^{2} = 49 = 2 \times 24 + 1$ est bien impair. De même $n = 11$ donne $1 1^{2} = 121 = 2 \times 60 + 1$ , impair.

2.4 Fractions irréductibles

Définition 2.13Fraction irréductible

Une fraction $\frac{a}{b}$ (avec $a$ et $b$ entiers, $b \neq = 0$ ) est irréductible lorsque le numérateur $a$ et le dénominateur $b$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ . On ne peut alors plus la simplifier.

Méthode : Rendre une fraction irréductible

On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun, et on recommence tant qu'il en existe un :

repérer un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (souvent $2$ , $3$ , $5$ , …) ;
diviser les deux par ce nombre ;
répéter jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun autre que $1$ .

Exemple 2.14

Rendons $\frac{84}{60}$ irréductible en simplifiant pas à pas :

$\frac{84}{60} = \frac{84 \div 2}{60 \div 2} = \frac{42}{30} = \frac{42 \div 2}{30 \div 2} = \frac{21}{15} = \frac{21 \div 3}{15 \div 3} = \frac{7}{5} .$

Les nombres $7$ et $5$ n'ont plus de diviseur commun autre que $1$ : la fraction $\frac{7}{5}$ est irréductible.

iRemarque

On peut aller plus vite en repérant d'un coup un « gros » diviseur commun. Ici $12$ divise à la fois $84$ et $60$ , d'où directement $\frac{84}{60} = \frac{84 \div 12}{60 \div 12} = \frac{7}{5}$ . Le résultat est le même : une fraction possède une unique forme irréductible.

ImportantSimplifier avant de calculer

Avant d'additionner ou de comparer des fractions, on a toujours intérêt à les rendre irréductibles : les nombres manipulés sont plus petits et les erreurs moins fréquentes. Par exemple $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ et $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ .

La même part coloriée dans les deux barres : simplifier $\frac{18}{24}$ en $\frac{3}{4}$ , c'est regrouper les vingt-quatrièmes six par six.

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Arithmétique

2.1 Les ensembles N et Z

2.2 Multiples et diviseurs

Méthode : Déterminer si a est un multiple de b

Une première démonstration

Deux algorithmes

Méthode : Déterminer si a est multiple de b

Méthode : Plus grand multiple de a inférieur ou égal à b

2.3 Nombres pairs et nombres impairs

Méthode : Raisonner selon la parité

Une deuxième démonstration

2.4 Fractions irréductibles

Méthode : Rendre une fraction irréductible

2.1 Les ensembles $N$ et $Z$

Méthode : Déterminer si $a$ est un multiple de $b$

Méthode : Déterminer si $a$ est multiple de $b$

Méthode : Plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$