Vocabulaire ensembliste et logique

Avec $A=\{1;2;3;6\}$ : on a $2\in A$ et $6\in A$, mais $4\notin A$ et $5\notin A$. Les ensembles de nombres usuels $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ (chapitre 2 et suivant) sont des ensembles ; par exemple $-3\in \mathbb{Z}$ et $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$.

$\mathrm{Card}(\{1;2;3;6\})=4$ ;   $\mathrm{Card}(\varnothing )=0$. L'ensemble des entiers naturels strictement compris entre $3$ et $4$ est vide.

Un ensemble ne tient pas compte de l'ordre ni des répétitions : $\{1;2;3\}$, $\{3;2;1\}$ et $\{1;1;2;3\}$ désignent le même ensemble, de cardinal $3$.

$\{2;6\}\subset \{1;2;3;6\}$. Pour les ensembles de nombres, on a la chaîne d'inclusions $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$. Un intervalle comme $\left[0;1\right]$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$.

Pour tout ensemble $E$ :

• $\varnothing \subset E$ et $E\subset E$ (l'ensemble vide et $E$ lui-même sont toujours des parties de $E$) ;
• si $A\subset B$ et $B\subset E$, alors $A\subset E$ (transitivité).

Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble ; le symbole $\subset$ relie un ensemble à un ensemble. Ainsi, avec $E=\{1;2;3\}$ : $2\in E$ (correct) et $\{2\}\subset E$ (correct), mais « $2\subset E$ » n'a pas de sens ($2$ n'est pas un ensemble), et « $\{2\}\in E$ » est faux, car les éléments de $E$ sont $1$, $2$ et $3$, et non l'ensemble $\{2\}$.