Vocabulaire ensembliste et logique

Avec $A=\{1;2;3;6\}$ : on a $2\in A$ et $6\in A$, mais $4\notin A$ et $5\notin A$. Les ensembles de nombres usuels $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ (chapitre 2 et suivant) sont des ensembles ; par exemple $-3\in \mathbb{Z}$ et $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$.

$\mathrm{Card}(\{1;2;3;6\})=4$ ;   $\mathrm{Card}(\varnothing )=0$. L'ensemble des entiers naturels strictement compris entre $3$ et $4$ est vide.

Un ensemble ne tient pas compte de l'ordre ni des répétitions : $\{1;2;3\}$, $\{3;2;1\}$ et $\{1;1;2;3\}$ désignent le même ensemble, de cardinal $3$.

$\{2;6\}\subset \{1;2;3;6\}$. Pour les ensembles de nombres, on a la chaîne d'inclusions $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$. Un intervalle comme $\left[0;1\right]$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$.

Pour tout ensemble $E$ :

• $\varnothing \subset E$ et $E\subset E$ (l'ensemble vide et $E$ lui-même sont toujours des parties de $E$) ;
• si $A\subset B$ et $B\subset E$, alors $A\subset E$ (transitivité).

Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble ; le symbole $\subset$ relie un ensemble à un ensemble. Ainsi, avec $E=\{1;2;3\}$ : $2\in E$ (correct) et $\{2\}\subset E$ (correct), mais « $2\subset E$ » n'a pas de sens ($2$ n'est pas un ensemble), et « $\{2\}\in E$ » est faux, car les éléments de $E$ sont $1$, $2$ et $3$, et non l'ensemble $\{2\}$.

Soit $E=\{1;2;3;4;5;6\}$, $A=\{1;2;3;4\}$ et $B=\{3;4;5\}$. Alors :

$$A\cap B=\{3;4\},A\cup B=\{1;2;3;4;5\},\overline{A}=E\setminus A=\{5;6\}.$$

Pour deux ensembles finis $A$ et $B$ :

$$\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B).$$

On retranche $\mathrm{Card}(A\cap B)$ pour ne pas compter deux fois les éléments communs.

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ font de l'anglais ($A$), $15$ de l'espagnol ($B$) et $7$ font les deux. Le nombre d'élèves faisant au moins une des deux langues est $\mathrm{Card}(A\cup B)=18+15-7=26$. Il reste donc $30-26=4$ élèves qui n'en font aucune.

Contrairement à un ensemble, un couple tient compte de l'ordre : en général $(a;b)\ne (b;a)$. Ainsi le couple de coordonnées $(3;5)$ ne désigne pas le même point que $(5;3)$.

Avec $A=\{1;2\}$ et $B=\{a;b\}$ :

$$A\times B=\{(1;a);(1;b);(2;a);(2;b)\},\mathrm{Card}(A\times B)=2\times 2=4.$$

Le plan muni d'un repère s'identifie à $\mathbb{R}\times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^2$ : un point y est repéré par le couple de ses coordonnées.

Le produit cartésien se visualise en grille : une ligne par élément de $B$, une colonne par élément de $A$ — d'où $\mathrm{Card}(A\times B)=\mathrm{Card}(A)\times \mathrm{Card}(B)$.

« $7$ est un nombre pair » est une proposition (fausse). « $3<5$ » est une proposition (vraie). En revanche « $x+1=4$ » dépend de la variable $x$ : c'est une proposition seulement une fois $x$ fixé (vraie pour $x=3$, fausse sinon).

Ces connecteurs correspondent aux opérations sur les ensembles : « et » se traduit par l'intersection $\cap$, « ou » par la réunion $\cup$.

La négation de « $x=3$ » est « $x\ne 3$ » ; celle de « $x\le 5$ » est « $x>5$ ». Pour les connecteurs :

• la négation de « $P$ et $Q$ » est « (non $P$) ou (non $Q$) » ;
• la négation de « $P$ ou $Q$ » est « (non $P$) et (non $Q$) ».

Ainsi la négation de « $x>0$ et $x<10$ » est « $x\le 0$ ou $x\ge 10$ ».

Les symboles $\forall$ (« pour tout ») et $\exists$ (« il existe ») sont hors programme en Seconde : on rédige ces énoncés en français.

La proposition « pour tout réel $x$, $x^2>x$ » est fausse : pour $x=\frac{1}{2}$, on a $x^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=x$. Ce seul contre-exemple suffit à conclure.

Entre $0$ et $1$, la parabole passe sous la droite $y=x$ : tout réel de $\left]0;1\right[$ fournit un contre-exemple.

« $n$ est un multiple de $4$ $\Rightarrow$ $n$ est pair » est une implication vraie.

Pour « $n$ multiple de $4\Rightarrow n$ pair » :

• la réciproque « $n$ pair $\Rightarrow n$ multiple de $4$ » est fausse ($6$ est pair mais n'est pas multiple de $4$) ;
• la contraposée « $n$ impair $\Rightarrow n$ n'est pas multiple de $4$ » est vraie (comme l'implication de départ).

« $n$ est pair $\iff$ le chiffre des unités de $n$ est $0,2,4,6$ ou $8$ » est une équivalence : chacune des deux propositions entraîne l'autre.

Montrons que, pour tout entier $n$, le produit $n(n+1)$ est pair.

• Si $n$ est pair, $n=2k$, alors $n(n+1)=2k(n+1)$ est pair.
• Si $n$ est impair, $n+1$ est pair, donc $n+1=2k$ et $n(n+1)=2kn$ est pair.

Dans tous les cas, $n(n+1)$ est pair. $\square$

Les deux cas recouvrent toutes les situations possibles : la conclusion vaut donc pour tout entier $n$.

Montrons qu'il n'existe pas de plus grand entier naturel. Supposons par l'absurde qu'il en existe un, noté $N$ (le plus grand). Alors $N+1$ est aussi un entier naturel, et $N+1>N$ : on a trouvé un entier plus grand que le « plus grand », ce qui est contradictoire. Un tel $N$ ne peut donc pas exister. $\square$

C'est la contradiction obtenue qui prouve que l'hypothèse « non $P$ » était intenable.