Trente pour cent sur un prix déjà réduit

1. Les deux remises. Chaque remise se traduit par un coefficient multiplicateur : une remise de $20$ % correspond au coefficient $1-0,20=0,80$, et une remise de $30$ % au coefficient $1-0,30=0,70$. Deux évolutions successives se composent en multipliant les coefficients : $$0,80\times 0,70=0,56.$$ Le prix final vaut donc $56$ % du prix de départ, ce qui correspond au taux global $$0,56-1=-0,44,$$ soit une réduction de $44$ %.

Pourquoi le client se trompe. Il additionne les taux : $20+30=50$. Or la seconde remise ne porte pas sur le prix initial, mais sur le prix déjà réduit, donc sur une base plus petite. Sur un article à $100$ €, le prix devient $80$ €, puis $80-24=56$ € : on a économisé $44$ € et non $50$ €.

2. Le taux à appliquer. On cherche le coefficient $k$ de la seconde remise tel que la composition donne $-50$ %, c'est-à-dire un coefficient global de $0,50$ : $$0,80\times k=0,50⟺k=\frac{0,50}{0,80}=0,625.$$ Le taux correspondant est $$0,625-1=-0,375,$$ soit une remise de $37,5$ %.

Contrôle. Sur un article à $100$ € : après $-20$ % il vaut $80$ €, puis $80\times 0,625=50$ € ✔.