Une variance et un écart type

La moyenne. $$\bar{x}=\frac{1+3+5+5+11}{5}=\frac{25}{5}=5.$$

Les écarts à la moyenne. $$1-5=-4,3-5=-2,5-5=0,5-5=0,11-5=6.$$

La variance. C'est la moyenne des carrés de ces écarts : $$V=\frac{(-4{)}^2+(-2{)}^2+0^2+0^2+6^2}{5}=\frac{16+4+0+0+36}{5}=\frac{56}{5}=11,2.$$

L'écart type. C'est la racine carrée de la variance : $$\sigma =\sqrt{11,2}\approx 3,35.$$

Pourquoi élever au carré ? Si l'on additionnait les écarts sans les élever au carré, on obtiendrait $-4-2+0+0+6=0$ : les écarts positifs compenseraient exactement les négatifs, et l'on ne mesurerait rien. Le carré rend tous les écarts positifs ; la racine carrée finale ramène le résultat à l'unité des données.

Lecture. Un écart type d'environ $3,35$ signifie que les valeurs s'écartent typiquement de $3,35$ de la moyenne $5$.