Douze élèves, un tableau croisé à dépouiller

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 11 — Croisement de deux variables qualitatives · Des données brutes au tableau croisé

Énoncé

On a relevé, pour $12$ élèves, leur mode de venue au lycée — à pied (noté P) ou en bus (noté B) — et la pratique d'un sport en club — oui (noté O) ou non (noté N). Voici les douze couples, dans l'ordre :

$(P; O)$ , $(B; N)$ , $(P; N)$ , $(P; O)$ , $(B; O)$ , $(P; N)$ , $(P; O)$ , $(B; N)$ , $(B; O)$ , $(P; O)$ , $(P; N)$ , $(B; N)$ .

Dresser le tableau croisé des effectifs, avec ses marges.
Calculer la fréquence marginale des sportifs.
Calculer la proportion de sportifs parmi ceux qui viennent à pied, puis parmi ceux qui viennent en bus.
Ces deux proportions permettent-elles d'affirmer que venir à pied fait pratiquer un sport ?

Corrigé

1. On dépouille la liste couple par couple, en séparant d'abord selon le mode de venue.

À pied (P) : ce sont les couples de rangs $1$ , $3$ , $4$ , $6$ , $7$ , $10$ et $11$ , soit $7$ élèves. Parmi eux, les sportifs (O) sont ceux de rangs $1$ , $4$ , $7$ et $10$ , soit $4$ ; les non-sportifs (N) sont ceux de rangs $3$ , $6$ et $11$ , soit $3$ .

En bus (B) : ce sont les couples de rangs $2$ , $5$ , $8$ , $9$ et $12$ , soit $5$ élèves. Parmi eux, les sportifs sont ceux de rangs $5$ et $9$ , soit $2$ ; les non-sportifs ceux de rangs $2$ , $8$ et $12$ , soit $3$ .

Le tableau croisé se lit donc ainsi : à pied et sportifs $4$ , à pied et non sportifs $3$ , total $7$ ; en bus et sportifs $2$ , en bus et non sportifs $3$ , total $5$ . Marges des colonnes : sportifs $4 + 2 = 6$ , non sportifs $3 + 3 = 6$ . Effectif total $6 + 6 = 12$ , ce qui concorde avec $7 + 5 = 12$ .

2. La fréquence marginale des sportifs est la marge « sportifs » divisée par l'effectif total : $\frac{6}{12} = 0, 5 = 50 %.$

3. Parmi ceux qui viennent à pied (ensemble de référence : $7$ élèves) : $\frac{4}{7} \approx 0, 571, soit environ 57, 1 %.$ Parmi ceux qui viennent en bus (ensemble de référence : $5$ élèves) : $\frac{2}{5} = 0, 40 = 40 %.$

4. Non, pour deux raisons.

D'abord, l'échantillon est minuscule : $12$ élèves, dont $7$ viennent à pied. Un seul élève qui changerait de catégorie ferait passer la première proportion de $\frac{4}{7} \approx 57 %$ à $\frac{3}{7} \approx 43 %$ ou à $\frac{5}{7} \approx 71 %$ . Un écart de $17$ points obtenu sur de si petits effectifs ne prouve rien.

Ensuite, même sur un grand échantillon, un tableau croisé montre un lien, jamais une cause. Un troisième facteur pourrait expliquer les deux caractères à la fois : par exemple, les élèves qui habitent près du lycée viennent à pied et rentrent vite chez eux, ce qui leur laisse plus de temps pour un entraînement.

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