Retrouver une population à partir de deux pourcentages

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 11 — Croisement de deux variables qualitatives · Lire les pourcentages d'un article

Énoncé

Une ville compte $20000$ habitants, dont $6000$ lisent le journal local. L'éditeur annonce deux chiffres : « $60 %$ de nos lecteurs ont plus de $50$ ans » et « $45 %$ des habitants de plus de $50$ ans nous lisent ».

Combien de lecteurs ont plus de $50$ ans ?
En déduire le nombre d'habitants de plus de $50$ ans.
Dresser le tableau croisé complet, croisant l'âge (plus de $50$ ans / $50$ ans ou moins) et la lecture du journal (lecteur / non-lecteur).
Quelle proportion des habitants de $50$ ans ou moins lit le journal ? Comparer avec les $45 %$ annoncés.

Corrigé

1. La première annonce a pour ensemble de référence les lecteurs, au nombre de $6000$ : $0, 60 \times 6000 = 3 600.$ $3600$ lecteurs ont plus de $50$ ans.

2. La seconde annonce a pour ensemble de référence les habitants de plus de $50$ ans. En notant $N$ leur nombre, elle affirme que $45 %$ d'entre eux sont lecteurs, c'est-à-dire $0, 45 \times N = 3600$ . D'où $N = \frac{3 600}{0 , 45} = 8 000.$ La ville compte $8000$ habitants de plus de $50$ ans.

3. On complète le tableau par soustractions successives.

Plus de $50$ ans : $3600$ lecteurs ; non-lecteurs $8000 - 3600 = 4400$ ; total $8000$ .

$50$ ans ou moins : total $20000 - 8000 = 12000$ ; lecteurs $6000 - 3600 = 2400$ ; non-lecteurs $12000 - 2400 = 9600$ .

Marges : lecteurs $3600 + 2400 = 6000$ ; non-lecteurs $4400 + 9600 = 14000$ ; total $6000 + 14000 = 20000$ . Le tableau est cohérent.

4. Parmi les $12000$ habitants de $50$ ans ou moins, $2400$ sont lecteurs : $\frac{2 400}{12 000} = 0, 20 = 20 %.$ Le journal touche donc $45 %$ des plus de $50$ ans, mais seulement $20 %$ des autres : son lectorat est plus de deux fois plus dense chez les personnes âgées. C'est précisément ce que masque le chiffre marginal, $\frac{6 000}{20 000} = 30 %$ d'habitants lecteurs, qui se situe entre les deux.

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