Deux jetons tirés sans remise

Le point clé : le tirage est sans remise. Après le premier tirage il ne reste que $9$ jetons, et la composition du sac a changé. Les probabilités du second tirage sont donc conditionnelles au premier.

1. Deux jetons de même lettre. Trois cas incompatibles.

Deux $A$ : il y a $4$ jetons $A$ sur $10$, puis $3$ sur $9$ : $$P(AA)=\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{12}{90}.$$

Deux $B$ : $3$ sur $10$, puis $2$ sur $9$ : $$P(BB)=\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}.$$

Deux $C$ : de même, $$P(CC)=\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}.$$

Ces trois événements sont incompatibles, on les additionne : $$P(\text{meˆme lettre})=\frac{12+6+6}{90}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}\approx 0,267.$$

2. Aucun jeton $A$. Il faut tirer deux jetons parmi les $3+3=6$ jetons qui ne portent pas $A$ : $$P(\text{aucun }A)=\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}.$$

Attention au second facteur. Après avoir tiré un jeton non-$A$, il reste $5$ jetons non-$A$ sur les $9$ restants — et non $6$ sur $10$.

3. Au moins un jeton $A$. C'est l'événement contraire du précédent : $$P(\text{au moins un }A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx 0,667.$$

Contrôle. On peut recompter directement : $P(\text{exactement un }A)=\frac{4}{10}\times \frac{6}{9}+\frac{6}{10}\times \frac{4}{9}=\frac{24}{90}+\frac{24}{90}=\frac{48}{90}$, et $P(AA)=\frac{12}{90}$. Leur somme vaut $\frac{60}{90}=\frac{2}{3}$ ✔.