Deux machines et les pièces défectueuses

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 12 — Probabilités · Arbres et probabilités conditionnelles

Énoncé

Une usine possède deux machines. La machine $A$ fabrique $60$ % des pièces et la machine $B$ les $40$ % restants. Deux pour cent des pièces issues de $A$ sont défectueuses, contre $5$ % de celles issues de $B$ . On prélève une pièce au hasard dans la production.

Décrire l'arbre pondéré de cette expérience.
Calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse.

Corrigé

1. L'arbre pondéré. Le premier niveau distingue la machine, le second l'état de la pièce. Notons $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

$Chemin A puis D A puis D ˉ B puis D B puis D ˉ Probabilit e ˊ s des branches 0, 60 puis 0, 02 0, 60 puis 0, 98 0, 40 puis 0, 05 0, 40 puis 0, 95 Probabilit e ˊ du chemin 0, 012 0, 588 0, 020 0, 380$

Les pondérations du second niveau sont des probabilités conditionnelles : sur la branche issue de $A$ , on lit $P_{A} (D) = 0, 02$ , c'est-à-dire « défectueuse sachant que la pièce vient de $A$ ».

La loi des nœuds. À chaque nœud, la somme des branches vaut $1$ : $0, 60 + 0, 40 = 1$ ✔, $0, 02 + 0, 98 = 1$ ✔ et $0, 05 + 0, 95 = 1$ ✔.

La loi des chemins. La probabilité d'un chemin est le produit des branches parcourues : $P (A \cap D) = P (A) \times P_{A} (D) = 0, 60 \times 0, 02 = 0, 012,$ $P (B \cap D) = P (B) \times P_{B} (D) = 0, 40 \times 0, 05 = 0, 020.$

2. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse. Deux chemins mènent à $D$ , et ils sont incompatibles (une pièce vient de $A$ ou de $B$ , pas des deux) : on les additionne. $P (D) = 0, 012 + 0, 020 = 0, 032,$ soit $3, 2$ %.

Contrôle. La somme des quatre chemins vaut $0, 012 + 0, 588 + 0, 020 + 0, 380 = 1$ ✔.

Lecture. Bien que $B$ produise moins de pièces, elle fournit la majorité des défauts : $0, 020$ contre $0, 012$ .

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