La somme de deux dés

1. Le dé rouge peut donner $6$ résultats et, pour chacun, le dé bleu en donne $6$ à son tour. L'univers est donc formé des couples $(r;b)$ avec $r$ et $b$ entre $1$ et $6$ : $$\mathrm{Card}(\Omega )=6\times 6=36.$$ Les deux dés étant équilibrés et lancés indépendamment, ces $36$ couples sont équiprobables : chacun a pour probabilité $\frac{1}{36}$.

2. Énumérons les couples dont la somme vaut $7$ : $$(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1).$$ Il y en a $6$. En situation d'équiprobabilité, $$P(\text{somme}=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$

3. Une somme supérieure ou égale à $10$ vaut $10$, $11$ ou $12$. Énumérons :

somme $10$ : $(4;6)$, $(5;5)$, $(6;4)$, soit $3$ couples ;

somme $11$ : $(5;6)$, $(6;5)$, soit $2$ couples ;

somme $12$ : $(6;6)$, soit $1$ couple.

Au total $3+2+1=6$ couples favorables, d'où $$P(\text{somme}\ge 10)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$

4. L'événement « la somme est différente de $7$ » est l'événement contraire de « la somme vaut $7$ ». Donc $$P(\text{somme}\ne 7)=1-P(\text{somme}=7)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$ Compter directement les $30$ couples restants donnerait bien sûr le même résultat, $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$ — mais en six fois plus de travail.