Natation et sexe dans un club

1. Les trois probabilités. Le membre est choisi au hasard parmi $250$ : équiprobabilité. $$P(F)=\frac{150}{250}=0,60,P(N)=\frac{130}{250}=0,52.$$ Les femmes nageuses sont au nombre de $90$, donc $$P(F\cap N)=\frac{90}{250}=0,36.$$

2. Les deux probabilités conditionnelles.

Nager sachant que le membre est une femme. L'ensemble de référence est celui des $150$ femmes : $$P_F(N)=\frac{P(F\cap N)}{P(F)}=\frac{0,36}{0,60}=0,60.$$ On le retrouve directement sur les effectifs : $\frac{90}{150}=0,60$ ✔.

Être une femme sachant que le membre nage. L'ensemble de référence est celui des $130$ nageurs : $$P_N(F)=\frac{P(F\cap N)}{P(N)}=\frac{0,36}{0,52}\approx 0,692,$$ ce qui correspond à $\frac{90}{130}\approx 0,692$ ✔.

⚠️ Deux nombres différents. $P_F(N)=0,60$ répond à « quelle proportion des femmes nage ? », tandis que $P_N(F)\approx 0,69$ répond à « quelle proportion des nageurs est féminine ? ». Confondre les deux est l'erreur d'inversion des conditionnements.

La vérification demandée. $$P(F)\times P_F(N)=0,60\times 0,60=0,36=P(F\cap N).$$ L'égalité est bien vérifiée ✔. C'est exactement la relation qui fonde la loi des chemins dans un arbre pondéré.