Un arbre à deux niveaux

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 12 — Probabilités · Arbres et probabilités conditionnelles

Énoncé

Une boîte contient $70$ % de bonbons au citron et $30$ % à la fraise. Parmi les bonbons au citron, $20$ % sont enrobés de sucre ; parmi ceux à la fraise, $50$ % le sont. On prend un bonbon au hasard. Calculer la probabilité qu'il soit enrobé de sucre.

Corrigé

Les notations. Soit $C$ « le bonbon est au citron », $F$ « il est à la fraise » et $S$ « il est enrobé de sucre ».

Ce que donne l'énoncé. $P (C) = 0, 70, P (F) = 0, 30, P_{C} (S) = 0, 20, P_{F} (S) = 0, 50.$ Les deux derniers nombres sont des probabilités conditionnelles : les $20$ % ne portent que sur les bonbons au citron.

Les deux chemins menant à $S$ . La probabilité d'un chemin est le produit des branches : $P (C \cap S) = P (C) \times P_{C} (S) = 0, 70 \times 0, 20 = 0, 14,$ $P (F \cap S) = P (F) \times P_{F} (S) = 0, 30 \times 0, 50 = 0, 15.$

La somme. Un bonbon est au citron ou à la fraise, pas les deux : les deux chemins sont incompatibles et l'on additionne. $P (S) = 0, 14 + 0, 15 = 0, 29,$ soit $29$ %.

Contrôle. Les bonbons non sucrés donnent $0, 70 \times 0, 80 + 0, 30 \times 0, 50 = 0, 56 + 0, 15 = 0, 71$ , et $0, 29 + 0, 71 = 1$ ✔.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.