Un chat, un chien, ou aucun des deux

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 12 — Probabilités · Univers, événements, réunion et contraire

Énoncé

Dans un groupe de $200$ personnes, $120$ possèdent un chat, $90$ possèdent un chien, et $40$ possèdent les deux. On choisit une personne au hasard.

Calculer la probabilité qu'elle possède un chat ou un chien.
Calculer la probabilité qu'elle ne possède aucun des deux animaux.
Calculer la probabilité qu'elle possède exactement un des deux animaux.

Corrigé

Le modèle. La personne est choisie au hasard parmi $200$ : équiprobabilité. Notons $A$ « posséder un chat » et $B$ « posséder un chien ». $P (A) = \frac{120}{200} = 0, 60, P (B) = \frac{90}{200} = 0, 45, P (A \cap B) = \frac{40}{200} = 0, 20.$

1. Un chat ou un chien. $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 0, 60 + 0, 45 - 0, 20 = 0, 85.$

⚠️ Sans la soustraction, on trouverait $1, 05 > 1$ : une probabilité impossible. C'est le signe qu'on aurait compté deux fois les $40$ personnes possédant les deux animaux.

2. Aucun des deux. C'est l'événement contraire de « un chat ou un chien » : $P (A \cup B) = 1 - P (A \cup B) = 1 - 0, 85 = 0, 15.$ Cela correspond à $0, 15 \times 200 = 30$ personnes.

3. Exactement un des deux. Parmi les $170$ personnes qui possèdent au moins un animal ( $0, 85 \times 200 = 170$ ), il faut retirer les $40$ qui en possèdent deux : $170 - 40 = 130 personnes, d’o u ˋ P = \frac{130}{200} = 0, 65.$

On peut aussi l'écrire $P (A \cup B) - P (A \cap B) = 0, 85 - 0, 20 = 0, 65$ ✔.

Contrôle global. Les quatre situations possibles sont : chat seul ( $120 - 40 = 80$ ), chien seul ( $90 - 40 = 50$ ), les deux ( $40$ ), aucun ( $30$ ). Leur somme vaut $80 + 50 + 40 + 30 = 200$ ✔, et $80 + 50 = 130$ retrouve bien la question 3 ✔.

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