Un dé dont les faces ne se valent pas

1. La loi de probabilité. Dire que $P(k)$ est proportionnelle à $k$ signifie qu'il existe un réel $a>0$ tel que $$P(k)=a\times k\text{pour }k=1,2,\dots ,6.$$

La somme des probabilités des six issues doit valoir $1$ : $$a\times 1+a\times 2+a\times 3+a\times 4+a\times 5+a\times 6=1,$$ c'est-à-dire $$a(1+2+3+4+5+6)=1⟺21a=1⟺a=\frac{1}{21}.$$

Les six probabilités sont donc $$P(1)=\frac{1}{21},P(2)=\frac{2}{21},P(3)=\frac{3}{21},P(4)=\frac{4}{21},P(5)=\frac{5}{21},P(6)=\frac{6}{21}.$$

Contrôle. Leur somme vaut $\frac{1+2+3+4+5+6}{21}=\frac{21}{21}=1$ ✔.

2. Un nombre pair. Les issues favorables sont $2$, $4$ et $6$, qui sont incompatibles deux à deux : $$P(\text{pair})=\frac{2}{21}+\frac{4}{21}+\frac{6}{21}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\approx 0,571.$$

Avec un dé équilibré, on aurait trouvé $\frac{1}{2}$ : ce dé favorise nettement les nombres pairs, parce qu'il favorise les grands numéros et que les deux plus grands, $5$ et $6$, ne se compensent pas.

3. Un nombre supérieur ou égal à $5$. Les issues favorables sont $5$ et $6$ : $$P(k\ge 5)=\frac{5}{21}+\frac{6}{21}=\frac{11}{21}\approx 0,524.$$

Avec un dé équilibré, cette probabilité vaudrait $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0,333$ : le truquage la fait passer au-dessus d'une chance sur deux.