Un pique ou une figure

Le modèle. Les $52$ cartes sont tirées au hasard : on suppose l'équiprobabilité, donc $$P(E)=\frac{\text{nombre de cartes reˊalisant }E}{52}.$$

L'événement $A$. Le jeu compte quatre couleurs de $13$ cartes chacune, donc $13$ piques : $$P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}.$$

L'événement $B$. Chaque couleur comporte trois figures (valet, dame, roi), soit $3\times 4=12$ figures : $$P(B)=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}.$$

L'intersection. Les cartes qui sont à la fois piques et figures sont le valet, la dame et le roi de pique, soit $3$ cartes : $$P(A\cap B)=\frac{3}{52}.$$

La réunion. On applique la formule $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{13}{52}+\frac{12}{52}-\frac{3}{52}=\frac{22}{52}=\frac{11}{26}.$$

Pourquoi retrancher. Sans le terme $-P(A\cap B)$, les trois figures de pique seraient comptées deux fois, une fois dans $A$ et une fois dans $B$.

Le contraire. $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$$

Contrôle. $\frac{11}{26}=\frac{22}{52}\approx 0,423$, ce qui est bien compris entre $P(B)\approx 0,231$ et $P(A)+P(B)\approx 0,481$ ✔.