Un test positif et le vrai risque

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 12 — Probabilités · Arbres et probabilités conditionnelles

Énoncé

Une maladie touche $5 %$ d'une population. Un test a une sensibilité de $90 %$ et une spécificité de $92 %$ . On note $M$ « malade » et $T$ « test positif ».

Construire l'arbre pondéré.
Calculer $P (M \cap T)$ et $P (T)$ .
Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité d'être réellement malade ? Commenter.

Corrigé

1. $P (M) = 0, 05$ , $P_{M} (T) = 0, 90$ , $P_{M ˉ} (T ˉ) = 0, 92$ donc $P_{M ˉ} (T) = 0, 08$ .<br> 2. $P (M \cap T) = 0, 05 \times 0, 90 = 0, 045$ ; $P (M ˉ \cap T) = 0, 95 \times 0, 08 = 0, 076$ ; $P (T) = 0, 045 + 0, 076 = 0, 121$ .<br> 3. $P_{T} (M) = \frac{0 , 045}{0 , 121} \approx 0, 372$ . Malgré une bonne sensibilité, un test positif ne correspond à un vrai malade que dans $\approx 37 %$ des cas : beaucoup de faux positifs car la maladie est rare.

<br> Deux chemins mènent à un test positif : celui des vrais positifs ( $0, 045$ ) et celui des faux positifs ( $0, 076$ ), près de deux fois plus nombreux.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.