mathématiques (seconde) · Chapitre 12 · Exercice de TD

Un test positif et le vrai risque

Probabilités · Arbres et probabilités conditionnelles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une maladie touche $5 %$ d'une population. Un test a une sensibilité de $90 %$ et une spécificité de $92 %$ . On note $M$ « malade » et $T$ « test positif ».

Construire l'arbre pondéré.
Calculer $P (M \cap T)$ et $P (T)$ .
Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité d'être réellement malade ? Commenter.

Corrigé de la question 1

1. $P (M) = 0, 05$ , $P_{M} (T) = 0, 90$ , $P_{M ˉ} (T ˉ) = 0, 92$ donc $P_{M ˉ} (T) = 0, 08$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Calculer $P (M \cap T)$ et $P (T)$ .

Élève

Pour $P (M \cap T)$ , je pensais multiplier $P (M)$ par $P_{M} (T)$ . Mais je ne sais pas si c'est bien la bonne formule à utiliser ici.

Repense à ce que représente $M \cap T$ : c'est l'événement « être malade et avoir un test positif ». Quelle probabilité conditionnelle relie ces deux événements dans ton arbre ?

Élève

Sur la branche $M$ , la deuxième branche donne $P_{M} (T)$ . Donc $P (M \cap T) = P (M) \times P_{M} (T)$ , c'est ça ?

Oui, c'est la bonne relation. Maintenant, pour $P (T)$ , regarde ton arbre : par quels chemins différents peut-on arriver à un test positif ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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