Cinq fractions à comparer sans calculatrice

1. Un dénominateur commun à $12$ et $8$ est $24$ (car $24=12\times 2=8\times 3$) : $$\frac{7}{12}=\frac{7\times 2}{12\times 2}=\frac{14}{24},\frac{5}{8}=\frac{5\times 3}{8\times 3}=\frac{15}{24}.$$ Deux fractions de même dénominateur positif se comparent par leurs numérateurs : $14<15$, donc $$\frac{7}{12}<\frac{5}{8}.$$

2. Un dénominateur commun à $15$ et $9$ est $45$ (car $45=15\times 3=9\times 5$) : $$\frac{11}{15}=\frac{11\times 3}{45}=\frac{33}{45},\frac{7}{9}=\frac{7\times 5}{45}=\frac{35}{45}.$$ Comme $33<35$, on obtient $$\frac{11}{15}<\frac{7}{9}.$$

3. On écrit $0,84=\frac{84}{100}=\frac{21}{25}$ (on a simplifié par $4$). Un dénominateur commun à $6$ et $25$ est $150$ : $$\frac{5}{6}=\frac{5\times 25}{150}=\frac{125}{150},\frac{21}{25}=\frac{21\times 6}{150}=\frac{126}{150}.$$ Comme $125<126$, on a $\frac{5}{6}<0,84$.

4. Écrivons les cinq nombres avec le dénominateur commun $360$ (multiple de $12$, $8$, $15$, $9$ et $6$) : $$\frac{7}{12}=\frac{210}{360},\frac{5}{8}=\frac{225}{360},\frac{11}{15}=\frac{264}{360},\frac{7}{9}=\frac{280}{360},\frac{5}{6}=\frac{300}{360}.$$ En effet $360=12\times 30$ et $7\times 30=210$ ; $360=8\times 45$ et $5\times 45=225$ ; $360=15\times 24$ et $11\times 24=264$ ; $360=9\times 40$ et $7\times 40=280$ ; $360=6\times 60$ et $5\times 60=300$.

Les numérateurs se rangent ainsi : $210<225<264<280<300$, d'où $$\frac{7}{12}<\frac{5}{8}<\frac{11}{15}<\frac{7}{9}<\frac{5}{6}.$$