Le produit et la somme de deux impairs

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 2 — Arithmétique · Parité : démonstrations

Énoncé

Soit $n$ et $m$ deux nombres impairs.

Démontrer que le produit $n \times m$ est impair.
Démontrer que la somme $n + m$ est paire.

Corrigé

Écriture des hypothèses. Dire que $n$ et $m$ sont impairs, c'est dire qu'il existe deux entiers $k$ et $k^{'}$ tels que $n = 2 k + 1 et m = 2 k^{'} + 1.$

1. Le produit. On développe : $n \times m = (2 k + 1) (2 k^{'} + 1) = 4 k k^{'} + 2 k + 2 k^{'} + 1 = 2 (2 k k^{'} + k + k^{'}) + 1.$ Comme $2 k k^{'} + k + k^{'}$ est un entier, le produit s'écrit sous la forme $2 \times (entier) + 1$ : il est impair.

2. La somme. $n + m = (2 k + 1) + (2 k^{'} + 1) = 2 k + 2 k^{'} + 2 = 2 (k + k^{'} + 1) .$ Comme $k + k^{'} + 1$ est un entier, la somme s'écrit $2 \times (entier)$ : elle est paire.

Contrôle. Avec $n = 5$ et $m = 7$ : $5 \times 7 = 35$ est impair, et $5 + 7 = 12$ est pair. Les deux résultats sont confirmés.

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