Une fraction qui ne dépend pas de n

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 2 — Arithmétique · Fractions irréductibles et calcul fractionnaire

Énoncé

Soit $n$ un entier naturel. On pose $F = \frac{6 n + 9}{4 n + 6} .$ Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis démontrer que $F$ ne dépend pas de $n$ et donner sa valeur.

Corrigé

Factorisation. Le numérateur : $6 n + 9 = 3 \times 2 n + 3 \times 3 = 3 (2 n + 3)$ . Le dénominateur : $4 n + 6 = 2 \times 2 n + 2 \times 3 = 2 (2 n + 3)$ .

Ainsi $F = \frac{3 ( 2 n + 3 )}{2 ( 2 n + 3 )} .$

Le facteur commun n'est pas nul. Comme $n$ est un entier naturel, $n \geq 0$ , donc $2 n + 3 \geq 3 > 0$ . On peut donc simplifier par $2 n + 3$ : $F = \frac{3}{2} .$

Conclusion. La valeur de $F$ est $\frac{3}{2}$ , quelle que soit la valeur de l'entier naturel $n$ : elle ne dépend pas de $n$ .

Contrôle. Pour $n = 0$ : $F = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ . Pour $n = 1$ : $F = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ . Pour $n = 5$ : $F = \frac{39}{26} = \frac{3}{2}$ (car $39 = 13 \times 3$ et $26 = 13 \times 2$ ). Les trois valeurs coïncident.

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