Un septième n'est pas un décimal

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 3 — Nombres réels · Décimaux, rationnels et irrationnels

Énoncé

En s'inspirant de la démonstration du cours pour $\frac{1}{3}$ , montrer que $\frac{1}{7}$ n'est pas un nombre décimal.

Corrigé

Supposons $\frac{1}{7} = \frac{a}{1 0 ^{n}}$ (par l'absurde). Alors $1 0^{n} = 7 a$ , donc $1 0^{n}$ serait un multiple de $7$ . Or $1 0^{n} = 2^{n} \times 5^{n}$ n'est qu'un produit de facteurs $2$ et $5$ , et l'on admet qu'un tel produit n'est jamais divisible par $7$ . Donc $1 0^{n}$ n'est pas multiple de $7$ : contradiction. Ainsi $\frac{1}{7}$ n'est pas décimal.

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