Deux inéquations et deux équations carrées

(a) On retranche $5$, puis on divise par $2$ (positif : le sens ne change pas) : $$2x+5\le 11⟺2x\le 6⟺x\le 3.$$ L'ensemble des solutions est $\left]-\infty ;3\right]$.

(b) On multiplie les deux membres par $-1$, qui est négatif : le sens de l'inégalité change. $$-x>3⟺x<-3.$$ L'ensemble des solutions est $\left]-\infty ;-3\right[$. Contrôle : pour $x=-5$, on a $-(-5)=5>3$ ✔ ; pour $x=0$, $0>3$ est faux ✔.

(c) Une équation du type $x^2=a$ avec $a>0$ a deux solutions, opposées l'une de l'autre : $$x^2=16⟺x=4\text{ ou }x=-4.$$ Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente.

(d) Un carré est toujours positif ou nul : $x^2\ge 0$ pour tout réel $x$. L'équation $x^2=-4$ n'a donc aucune solution dans $\mathbb{R}$.