Encadrer une somme, une différence, un produit

Encadrement de $x+y$. On additionne les deux encadrements membre à membre (les inégalités de même sens s'additionnent) : $$2+(-3)\le x+y\le 5+1,\text{soit}-1\le x+y\le 6.$$

Encadrement de $x-y$. On ne soustrait jamais deux encadrements membre à membre. On encadre d'abord $-y$ : multiplier par $-1$ renverse les inégalités, donc de $-3\le y\le 1$ on tire $$-1\le -y\le 3.$$ Puis on additionne avec $2\le x\le 5$ : $$2+(-1)\le x-y\le 5+3,\text{soit}1\le x-y\le 8.$$

Encadrement de $3x$. On multiplie par $3$, qui est positif : le sens est conservé. $$3\times 2\le 3x\le 3\times 5,\text{soit}6\le 3x\le 15.$$

Encadrement de $-2y$. On multiplie par $-2$, qui est négatif : le sens est renversé. De $-3\le y\le 1$ on tire $$-2\times 1\le -2y\le -2\times (-3),\text{soit}-2\le -2y\le 6.$$

Contrôle. Prenons $x=3$ et $y=0$ : $x+y=3\in [-1;6]$ ✔, $x-y=3\in [1;8]$ ✔, $3x=9\in [6;15]$ ✔, $-2y=0\in [-2;6]$ ✔.