Le tableau de signes d'un produit

Les valeurs qui annulent chaque facteur. $$5-x=0⟺x=5,2x+3=0⟺x=-\frac{3}{2}.$$

Le signe de chaque facteur.

• $5-x$ est une expression du premier degré dont le coefficient de $x$ vaut $-1<0$ : elle est positive avant $5$ et négative après. Autrement dit, $5-x>0⟺x<5$.
• $2x+3$ a pour coefficient $2>0$ : elle est négative avant $-\frac{3}{2}$ et positive après.

Le tableau de signes. On classe les deux valeurs charnières : $-\frac{3}{2}<5$.

$$\begin{array}{cccc}x& \left]-\infty ;-\frac{3}{2}\right[& \left]-\frac{3}{2};5\right[& \left]5;+\infty \right[\\ 5-x& +& +& -\\ 2x+3& -& +& +\\ P(x)& -& +& -\end{array}$$

L'expression $P(x)$ s'annule en $x=-\frac{3}{2}$ et en $x=5$.

Résolution de $P(x)>0$. D'après le tableau, $P(x)$ est strictement positif exactement entre les deux racines : $$S=\left]-\frac{3}{2};5\right[.$$

Contrôle. Pour $x=0$ : $P(0)=5\times 3=15>0$, et $0$ est bien dans l'intervalle ✔. Pour $x=6$ : $P(6)=(-1)\times 15=-15<0$ ✔. Pour $x=-2$ : $P(-2)=7\times (-1)=-7<0$ ✔.