Trois équations à ramener à un produit nul

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 4 — Algèbre · Produit nul, quotient et étude de signe

Énoncé

Résoudre les équations suivantes, en factorisant d'abord si nécessaire : (a) $(2 x - 7) (x + 5) = 0$ ; (b) $9 x^{2} - 25 = 0$ ; (c) $x^{2} + 4 x = 0$ .

Corrigé

Le principe. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

(a) L'expression est déjà factorisée : $(2 x - 7) (x + 5) = 0 ⟺ 2 x - 7 = 0 ou x + 5 = 0 ⟺ x = \frac{7}{2} ou x = - 5.$ Les solutions sont $\frac{7}{2}$ et $- 5$ .

(b) On reconnaît une différence de deux carrés : $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ et $25 = 5^{2}$ , donc $9 x^{2} - 25 = (3 x - 5) (3 x + 5) .$ D'où $9 x^{2} - 25 = 0 ⟺ 3 x - 5 = 0 ou 3 x + 5 = 0 ⟺ x = \frac{5}{3} ou x = - \frac{5}{3} .$ Contrôle : $9 \times (\frac{5}{3})^{2} = 9 \times \frac{25}{9} = 25$ ✔.

(c) On met $x$ en facteur : $x^{2} + 4 x = x (x + 4) .$ D'où $x (x + 4) = 0 ⟺ x = 0 ou x + 4 = 0 ⟺ x = 0 ou x = - 4.$

Erreur à éviter. En (c), on ne peut pas « simplifier par $x$ » : cela ferait perdre la solution $x = 0$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.