Trois inéquations, trois ensembles de solutions

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 4 — Algèbre · Équations, inéquations et mise en équation

Énoncé

Résoudre les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle : (a) $- 3 x + 7 < 1$ ; (b) $\frac{2 x - 1}{5} \geq x + 2$ ; (c) $4 (x - 1) \leq 4 x + 3$ .

Corrigé

(a) $- 3 x + 7 < 1 ⟺ - 3 x < - 6.$ On divise par $- 3$ , qui est négatif : le sens de l'inégalité change. $x > \frac{- 6}{- 3} = 2.$ L'ensemble des solutions est $S =] 2; + \infty [$ . Contrôle : pour $x = 3$ , $- 9 + 7 = - 2 < 1$ ✔ ; pour $x = 0$ , $7 < 1$ est faux ✔.

(b) On multiplie les deux membres par $5$ , qui est positif (le sens ne change pas) : $2 x - 1 \geq 5 x + 10 ⟺ 2 x - 5 x \geq 10 + 1 ⟺ - 3 x \geq 11.$ On divise par $- 3$ : le sens change. $x \leq - \frac{11}{3} .$ L'ensemble des solutions est $S =] - \infty; - \frac{11}{3}]$ . Contrôle : pour $x = - 4$ , le membre de gauche vaut $\frac{- 9}{5} = - 1, 8$ et celui de droite $- 2$ ; on a bien $- 1, 8 \geq - 2$ ✔.

(c) On développe : $4 x - 4 \leq 4 x + 3 ⟺ 4 x - 4 x \leq 3 + 4 ⟺ 0 \leq 7.$ On obtient une inégalité toujours vraie, indépendante de $x$ . Tout réel est donc solution : $S = R =] - \infty; + \infty [.$

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.