Une équation quotient et le signe d'un quotient

1. La valeur interdite. Le dénominateur s'annule lorsque $2x+1=0$, c'est-à-dire $x=-\frac{1}{2}$. L'expression $Q(x)$ n'est définie que pour $x\ne -\frac{1}{2}$.

2. L'équation. Pour $x\ne -\frac{1}{2}$, on peut multiplier les deux membres par $2x+1$ : $$\frac{x-3}{2x+1}=-1⟺x-3=-(2x+1)⟺x-3=-2x-1.$$ Puis $$x+2x=-1+3⟺3x=2⟺x=\frac{2}{3}.$$ Cette valeur est différente de $-\frac{1}{2}$ : elle est acceptable. Vérification : $\frac{\frac{2}{3}-3}{2\times \frac{2}{3}+1}=\frac{-\frac{7}{3}}{\frac{7}{3}}=-1$ ✔. La solution est $x=\frac{2}{3}$.

3. Le tableau de signes.

• $x-3>0⟺x>3$ ; ce facteur s'annule en $3$.
• $2x+1>0⟺x>-\frac{1}{2}$ ; ce facteur s'annule en $-\frac{1}{2}$, valeur interdite.

$$\begin{array}{cccc}x& \left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right[& \left]-\frac{1}{2};3\right[& \left]3;+\infty \right[\\ x-3& -& -& +\\ 2x+1& -& +& +\\ Q(x)& +& -& +\end{array}$$

L'expression $Q(x)$ s'annule en $x=3$ ; elle n'est pas définie en $x=-\frac{1}{2}$.

Lecture. $Q(x)>0$ pour $x\in \left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right[\cup \left]3;+\infty \right[$, $Q(x)<0$ pour $x\in \left]-\frac{1}{2};3\right[$, et $Q(x)=0$ uniquement pour $x=3$.

Contrôle. $Q(0)=\frac{-3}{1}=-3<0$ ✔ ; $Q(4)=\frac{1}{9}>0$ ✔ ; $Q(-1)=\frac{-4}{-1}=4>0$ ✔.