Le paramètre qui rend deux vecteurs colinéaires

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 5 — Vecteurs et problèmes de géométrie · Colinéarité, alignement et parallélisme

Énoncé

Soit $m$ un nombre réel. On considère les vecteurs $u (m; 3)$ et $v (4; m - 1)$ . Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $u$ et $v$ sont colinéaires. Indication : on pourra vérifier que $m^{2} - m - 12 = (m - 4) (m + 3)$ .

Corrigé

La condition de colinéarité. Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $det (u, v) = m \times (m - 1) - 3 \times 4 = m^{2} - m - 12.$

Vérification de l'indication. Développons : $(m - 4) (m + 3) = m^{2} + 3 m - 4 m - 12 = m^{2} - m - 12.$ L'égalité proposée est donc exacte.

Résolution. L'équation devient une équation produit nul : $(m - 4) (m + 3) = 0 ⟺ m - 4 = 0 ou m + 3 = 0 ⟺ m = 4 ou m = - 3.$

Contrôles.

Pour $m = 4$ : $u (4; 3)$ et $v (4; 3)$ . Les deux vecteurs sont même égaux ✔.
Pour $m = - 3$ : $u (- 3; 3)$ et $v (4; - 4)$ . On a $det = (- 3) \times (- 4) - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$ ✔.

Conclusion. Les vecteurs sont colinéaires pour $m = 4$ et pour $m = - 3$ , et pour ces deux valeurs seulement.

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