mathématiques (seconde) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu

Vecteurs et problèmes de géométrie · Relation de Chasles et égalités vectorielles · niveau 2

Énoncé

Soit $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points du plan tels que $A B = D C$ .

Soit $I$ le milieu de $[A C]$ . Démontrer, à l'aide de la relation de Chasles, que $I$ est aussi le milieu de $[B D]$ .
Vérifier ce résultat par le calcul avec $A (1; 2)$ , $B (5; 3)$ , $C (6; 7)$ et $D (2; 6)$ .

Corrigé de la question 1

1. Puisque $I$ est le milieu de $[A C]$ , on a $A I = I C$ .

Par ailleurs, l'hypothèse $A B = D C$ donne, en prenant les vecteurs opposés, $B A = C D .$

Calculons alors $B I$ en passant par $A$ (relation de Chasles) : $B I = B A + A I = C D + I C = I C + C D = I D .$ On a successivement remplacé $B A$ par $C D$ et $A I$ par $I C$ , échangé les deux termes (l'addition des vecteurs est commutative), puis appliqué Chasles en $C$ .

L'égalité $B I = I D$ signifie exactement que $I$ est le milieu de $[B D]$ .

Conclusion. Les deux diagonales $[A C]$ et $[B D]$ ont le même milieu $I$ : elles se coupent en leur milieu.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Vérifier ce résultat par le calcul avec $A (1; 2)$ , $B (5; 3)$ , $C (6; 7)$ et $D (2; 6)$ .

Élève

Pour vérifier, je pensais calculer les coordonnées de $A B$ et de $D C$ . C'est la bonne piste ?

Oui, c'est un bon point de départ : il faut d'abord s'assurer que l'hypothèse de l'énoncé est bien respectée. Rappelle-moi comment on obtient les coordonnées d'un vecteur $U V$ à partir de celles de $U$ et de $V$ .

Élève

On soustrait les coordonnées du point de départ à celles du point d'arrivée. Donc pour $A B$ ça donne $(5 - 1; 3 - 2)$ .

Exact. Fais le même calcul pour $D C$ en faisant attention à l'ordre : départ en $D$ , arrivée en $C$ . Que trouves-tu, et que peux-tu en conclure sur l'hypothèse ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →