Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu

1. Puisque $I$ est le milieu de $[AC]$, on a $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IC}$.

Par ailleurs, l'hypothèse $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donne, en prenant les vecteurs opposés, $$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}.$$

Calculons alors $\overrightarrow{BI}$ en passant par $A$ (relation de Chasles) : $$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{ID}.$$ On a successivement remplacé $\overrightarrow{BA}$ par $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AI}$ par $\overrightarrow{IC}$, échangé les deux termes (l'addition des vecteurs est commutative), puis appliqué Chasles en $C$.

L'égalité $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{ID}$ signifie exactement que $I$ est le milieu de $[BD]$.

Conclusion. Les deux diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $I$ : elles se coupent en leur milieu.

2. Vérifions d'abord l'hypothèse. Les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent en soustrayant celles du point de départ à celles du point d'arrivée : $$\overrightarrow{AB}(5-1;3-2)=\overrightarrow{AB}(4;1),\overrightarrow{DC}(6-2;7-6)=\overrightarrow{DC}(4;1).$$ Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, l'hypothèse est bien vérifiée.

Milieu de $[AC]$ : $$\left(\frac{1+6}{2};\frac{2+7}{2}\right)=(3,5;4,5).$$ Milieu de $[BD]$ : $$\left(\frac{5+2}{2};\frac{3+6}{2}\right)=(3,5;4,5).$$ Les deux milieux coïncident, conformément à la démonstration.