Les milieux des côtés d'un quadrilatère

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 5 — Vecteurs et problèmes de géométrie · Chasles et démonstrations vectorielles

Énoncé

Soit $A B C D$ un quadrilatère quelconque du plan. On note $I$ , $J$ , $K$ et $L$ les milieux respectifs des segments $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ et $[D A]$ . Démontrer que $I J = L K$ , puis en déduire la nature du quadrilatère $I J K L$ .

Corrigé

Ce que donne la définition d'un milieu. Comme $I$ est le milieu de $[A B]$ , on a $I B = \frac{1}{2} A B$ . De même $B J = \frac{1}{2} B C, L D = \frac{1}{2} A D, D K = \frac{1}{2} D C .$

Calcul de $I J$ . Par la relation de Chasles, en passant par $B$ : $I J = I B + B J = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} (A B + B C) = \frac{1}{2} A C .$

Calcul de $L K$ . Par la relation de Chasles, en passant par $D$ : $L K = L D + D K = \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} D C = \frac{1}{2} (A D + D C) = \frac{1}{2} A C .$

Conclusion. Les deux vecteurs sont égaux au même vecteur $\frac{1}{2} A C$ , donc $I J = L K .$ Le quadrilatère $I J K L$ a donc deux côtés opposés parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme.

Remarque. Le résultat ne suppose rien sur $A B C D$ : quel que soit le quadrilatère de départ, même très irrégulier, le quadrilatère des milieux est toujours un parallélogramme.

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