Quatre sommes vectorielles à simplifier

On utilise partout la relation de Chasles : pour trois points $X$, $Y$, $Z$, on a $\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}$ — le point d'arrivée du premier vecteur sert de point de départ au second, et il « disparaît ».

1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ : le point $B$ est intermédiaire.

2. On applique Chasles deux fois, de gauche à droite : $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}.$$

3. Ici les deux vecteurs partent du même point $A$ : Chasles ne s'applique pas directement. On remplace d'abord $-\overrightarrow{AC}$ par le vecteur opposé $\overrightarrow{CA}$ : $$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}.$$ (L'addition de vecteurs est commutative, ce qui autorise l'échange des deux termes.)

4. On regroupe les deux termes qui s'enchaînent : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.$$ Or $\overrightarrow{BC}$ est l'opposé de $\overrightarrow{CB}$, donc leur somme est le vecteur nul : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}.$$

Contrôle en coordonnées pour la question 4, avec $A(1;2)$, $B(4;3)$ et $C(2;7)$ : $\overrightarrow{AB}(3;1)$, $\overrightarrow{CA}(-1;-5)$, $\overrightarrow{BC}(-2;4)$. La somme des abscisses vaut $3-1-2=0$ et celle des ordonnées $1-5+4=0$ : on retrouve bien le vecteur nul.