mathématiques (seconde) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Quatre sommes vectorielles à simplifier

Vecteurs et problèmes de géométrie · Relation de Chasles et égalités vectorielles · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $A$ , $B$ , $C$ , $M$ , $N$ et $P$ six points du plan. Simplifier chacune des expressions suivantes, de manière à n'obtenir qu'un seul vecteur (ou le vecteur nul) :

$A B + B C$ ;
$M A + A N + N P$ ;
$A B - A C$ ;
$A B + C A + B C$ .

Corrigé de la question 1

On utilise partout la relation de Chasles : pour trois points $X$ , $Y$ , $Z$ , on a $X Y + Y Z = X Z$ — le point d'arrivée du premier vecteur sert de point de départ au second, et il « disparaît ».

1. $A B + B C = A C$ : le point $B$ est intermédiaire.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. $M A + A N + N P$ ;

Élève

Pour la question 2, il y a trois vecteurs. Je ne sais pas par où commencer : je les additionne tous les trois d'un coup ?

Regarde le corrigé de la question 1 : on n'y a additionné que deux vecteurs à la fois. Ici, quels sont les deux premiers vecteurs de la somme, et ont-ils un point en commun qui pourrait servir de point intermédiaire ?

Élève

Les deux premiers, c'est $M A$ et $A N$ . Le point commun, c'est $A$ : il est à l'arrivée du premier et au départ du second.

Oui, c'est bien la configuration de Chasles. Alors, quelle égalité peux-tu écrire pour la somme de ces deux premiers vecteurs, et que reste-t-il ensuite à additionner ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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