Trois longueurs qui donnent la nature du triangle

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 5 — Vecteurs et problèmes de géométrie · Distance, milieu et configurations

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne $A (- 2; - 1)$ , $B (4; 1)$ et $C (0; 5)$ . Calculer les longueurs $A B$ , $A C$ et $B C$ , puis préciser la nature du triangle $A B C$ . Déterminer enfin les coordonnées du milieu $J$ de $[A B]$ .

Corrigé

Les trois longueurs. On calcule d'abord les vecteurs, puis leurs normes. $A B (62), A B = 6^{2} + 2^{2} = 40 = 210 .$ $A C (26), A C = 2^{2} + 6^{2} = 40 = 210 .$ $B C (- 4 4), B C = 16 + 16 = 32 = 42 .$

Nature du triangle. On a $A B = A C = 210$ : le triangle $A B C$ est isocèle en $A$ . Est-il rectangle ? On teste la relation de Pythagore avec la plus grande longueur. $B C^{2} = 32$ , tandis que $A B^{2} + A C^{2} = 40 + 40 = 80 \neq = 32$ : le triangle n'est pas rectangle en $A$ . Il est donc isocèle, sans plus.

Le milieu de $[A B]$ . Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités : $J (\frac{- 2 + 4}{2}; \frac{- 1 + 1}{2}) = J (1; 0) .$

Contrôle. $A J (3; 1)$ et $J B (3; 1)$ : ces deux vecteurs sont égaux, ce qui confirme que $J$ est bien le milieu de $[A B]$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.