Un parallélogramme et ses diagonales

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 5 — Vecteurs et problèmes de géométrie · Distance, milieu et configurations

Énoncé

Dans un repère du plan, on donne $A (1; - 2)$ , $B (5; 0)$ , $C (6; 4)$ et $D (2; 2)$ . Démontrer que $A B C D$ est un parallélogramme, puis vérifier par le calcul que ses diagonales ont le même milieu.

Corrigé

Le critère vectoriel. Le quadrilatère $A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si $A B = D C$ (les côtés $[A B]$ et $[D C]$ sont alors parallèles et de même longueur, dans le même sens).

$A B (5 - 1 0 - (- 2)) = (42), D C (6 - 2 4 - 2) = (42) .$

Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc $A B = D C$ : $A B C D$ est un parallélogramme.

Les diagonales. Les diagonales sont $[A C]$ et $[B D]$ . $milieu de [A C] : (\frac{1 + 6}{2}; \frac{- 2 + 4}{2}) = (\frac{7}{2}; 1) .$ $milieu de [B D] : (\frac{5 + 2}{2}; \frac{0 + 2}{2}) = (\frac{7}{2}; 1) .$

Les deux milieux coïncident : les diagonales du parallélogramme se coupent bien en leur milieu. C'est la propriété caractéristique du parallélogramme, retrouvée ici sur un exemple.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.