mathématiques (seconde) · Chapitre 5 · Exercice d'entraînement

Un quadrilatère qui se révèle être un carré

Vecteurs et problèmes de géométrie · Distance, milieu et configurations · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne $A (0; 1)$ , $B (3; 2)$ , $C (2; 5)$ et $D (- 1; 4)$ .

Démontrer que $A B C D$ est un parallélogramme.
Calculer $A B$ , $B C$ et $A C$ .
En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, démontrer que $A B C D$ est un rectangle. Est-ce un carré ?

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Démontrer que $A B C D$ est un parallélogramme.

Élève

Pour montrer que c'est un parallélogramme, je pensais calculer les longueurs des quatre côtés et montrer qu'elles sont égales deux à deux. Ça marche ?

C'est une idée, mais des côtés égaux deux à deux ne suffisent pas forcément à garantir un parallélogramme, et surtout ce serait long. Avec un repère orthonormé et des coordonnées, quel outil du cours sur les vecteurs permet de caractériser un parallélogramme ?

Élève

Ah oui, avec les vecteurs : il faut montrer une égalité de vecteurs. Mais lesquels je prends ?

Bonne piste. Dans un quadrilatère $A B C D$ nommé dans l'ordre, quels couples de côtés opposés peux-tu tester ? Choisis-en un et écris les coordonnées du premier vecteur, par exemple à partir des points $A$ et $B$ : que trouves-tu ?

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