Un quadrilatère qui se révèle être un carré

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 5 — Vecteurs et problèmes de géométrie · Distance, milieu et configurations

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne $A (0; 1)$ , $B (3; 2)$ , $C (2; 5)$ et $D (- 1; 4)$ .

Démontrer que $A B C D$ est un parallélogramme.
Calculer $A B$ , $B C$ et $A C$ .
En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, démontrer que $A B C D$ est un rectangle. Est-ce un carré ?

Corrigé

1. Parallélogramme. $A B (3 - 0 2 - 1) = (31), D C (2 - (- 1) 5 - 4) = (31) .$ Comme $A B = D C$ , le quadrilatère $A B C D$ est un parallélogramme.

2. Les longueurs. $A B = 3^{2} + 1^{2} = 10 .$ $B C (2 - 3 5 - 2) = (- 1 3), B C = 1 + 9 = 10 .$ $A C (24), A C = 4 + 16 = 20 .$

3. Un angle droit. Dans le triangle $A B C$ , le plus grand côté est $[A C]$ . Or $A B^{2} + B C^{2} = 10 + 10 = 20 et A C^{2} = 20.$ Ces deux quantités sont égales : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ . Le parallélogramme $A B C D$ possède donc un angle droit : c'est un rectangle.

Est-ce un carré ? On a de plus $A B = B C = 10$ : deux côtés consécutifs sont de même longueur. Un rectangle dont deux côtés consécutifs sont égaux est un carré. Donc $A B C D$ est un carré de côté $10$ .

Contrôle. La diagonale d'un carré de côté $c$ vaut $c 2$ . Ici $10 \times 2 = 20 = A C$ ✔.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.