Deux forfaits téléphoniques comparés

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Intersections et problèmes

Énoncé

L'opérateur A facture $12$ € par mois plus $0, 20$ € par gigaoctet ; l'opérateur B facture $18$ € par mois plus $0, 05$ € par gigaoctet. On note $x$ le nombre de gigaoctets consommés.

Exprimer les prix $y_{A}$ et $y_{B}$ en fonction de $x$ : on reconnaît deux droites.
À partir de quelle consommation l'offre B est-elle plus avantageuse ?

Corrigé

1. Les deux formules. Chaque prix est composé d'une part fixe et d'une part proportionnelle à $x$ : $y_{A} = 0, 20 x + 12 et y_{B} = 0, 05 x + 18.$ Ce sont deux équations réduites de droites : la pente est le prix au gigaoctet, l'ordonnée à l'origine est l'abonnement mensuel.

2. Le point de bascule. On cherche d'abord pour quelle consommation les deux offres coûtent le même prix : $0, 20 x + 12 = 0, 05 x + 18 ⟺ 0, 15 x = 6 ⟺ x = \frac{6}{0 , 15} = 40.$ Pour $x = 40$ Go, les deux offres coûtent $0, 2 \times 40 + 12 = 20$ € et $0, 05 \times 40 + 18 = 20$ € : elles sont à égalité.

Au-delà et en deçà. La droite de A a la plus grande pente : le prix de A augmente plus vite. Donc, pour $x > 40$ , on a $y_{A} > y_{B}$ et l'offre B est plus avantageuse ; pour $x < 40$ , c'est l'offre A.

Contrôle. Pour $x = 60$ : $y_{A} = 12 + 12 = 24$ € et $y_{B} = 3 + 18 = 21$ € ✔. Pour $x = 20$ : $y_{A} = 16$ € et $y_{B} = 19$ € ✔.

Conclusion. L'offre B devient strictement plus avantageuse à partir de $41$ gigaoctets (dès que la consommation dépasse $40$ Go).

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.