Le point d'intersection de deux droites

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Alignement et positions relatives

Énoncé

Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites $(d_{1}) : y = \frac{1}{2} x + 3 et (d_{2}) : y = - 2 x - 2.$

Corrigé

Elles sont bien sécantes. Les pentes valent $\frac{1}{2}$ et $- 2$ : elles sont différentes, donc les droites se coupent en un unique point.

Résolution. Au point d'intersection, les deux ordonnées coïncident : $\frac{1}{2} x + 3 = - 2 x - 2.$ On regroupe : $\frac{1}{2} x + 2 x = - 2 - 3 ⟺ \frac{5}{2} x = - 5 ⟺ x = - 5 \times \frac{2}{5} = - 2.$

L'ordonnée. On remplace dans l'une des deux équations, par exemple $(d_{2})$ : $y = - 2 \times (- 2) - 2 = 4 - 2 = 2.$

Contrôle avec l'autre équation. Dans $(d_{1})$ : $\frac{1}{2} \times (- 2) + 3 = - 1 + 3 = 2$ ✔.

Conclusion. Le point d'intersection a pour coordonnées $(- 2; 2)$ .

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