Les trois côtés d'un triangle

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Intersections et problèmes

Énoncé

Dans un repère du plan, on donne $A (- 1; 0)$ , $B (3; 2)$ et $C (1; 6)$ .

Déterminer les équations réduites des droites $(A B)$ , $(B C)$ et $(A C)$ .
Vérifier que le point $I (1; 1)$ appartient à $(A B)$ , et dire s'il est le milieu de $[A B]$ .

Corrigé

1. Les trois équations.

Droite $(A B)$ . Pente : $\frac{2 - 0}{3 - ( - 1 )} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Avec $A (- 1; 0)$ : $0 = - \frac{1}{2} + p$ , donc $p = \frac{1}{2}$ . $(A B) : y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} .$ Contrôle avec $B$ : $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ ✔.

Droite $(B C)$ . Pente : $\frac{6 - 2}{1 - 3} = \frac{4}{- 2} = - 2$ . Avec $B (3; 2)$ : $2 = - 6 + p$ , donc $p = 8$ . $(B C) : y = - 2 x + 8.$ Contrôle avec $C$ : $- 2 + 8 = 6$ ✔.

Droite $(A C)$ . Pente : $\frac{6 - 0}{1 - ( - 1 )} = \frac{6}{2} = 3$ . Avec $A (- 1; 0)$ : $0 = - 3 + p$ , donc $p = 3$ . $(A C) : y = 3 x + 3.$ Contrôle avec $C$ : $3 + 3 = 6$ ✔.

2. Le point $I (1; 1)$ . On remplace $x$ par $1$ dans l'équation de $(A B)$ : $\frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} = 1.$ C'est bien l'ordonnée de $I$ : le point $I$ appartient à $(A B)$ .

Est-il le milieu de $[A B]$ ? Le milieu a pour coordonnées $(\frac{- 1 + 3}{2}; \frac{0 + 2}{2}) = (1; 1) .$ C'est exactement $I$ : oui, $I$ est le milieu de $[A B]$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.