Une équation de droite obtenue par le déterminant

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Équation réduite, pente et vecteur directeur

Énoncé

On donne $A (- 2; 3)$ et $B (4; - 1)$ . Un point $M (x; y)$ appartient à la droite $(A B)$ si et seulement si les vecteurs $A M$ et $A B$ sont colinéaires. En écrivant que leur déterminant est nul, déterminer une équation cartésienne de $(A B)$ , puis son équation réduite.

Corrigé

Les deux vecteurs. $A B (4 - (- 2) - 1 - 3) = (6 - 4), A M (x + 2 y - 3) .$

Le déterminant. $det (A M, A B) = (x + 2) \times (- 4) - (y - 3) \times 6 = - 4 x - 8 - 6 y + 18 = - 4 x - 6 y + 10.$

L'équation cartésienne. Le point $M$ appartient à $(A B)$ si et seulement si ce déterminant est nul : $- 4 x - 6 y + 10 = 0.$ On divise les deux membres par $- 2$ pour obtenir des coefficients plus simples : $2 x + 3 y - 5 = 0.$

L'équation réduite. On isole $y$ : $3 y = - 2 x + 5 ⟺ y = - \frac{2}{3} x + \frac{5}{3} .$

Contrôles. Pour $A (- 2; 3)$ : $- \frac{2}{3} \times (- 2) + \frac{5}{3} = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$ ✔. Pour $B (4; - 1)$ : $- \frac{2}{3} \times 4 + \frac{5}{3} = - \frac{8}{3} + \frac{5}{3} = - \frac{3}{3} = - 1$ ✔.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.