Une parabole comme ensemble équidistant

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Régions du plan et lieux géométriques

Énoncé

Déterminer une équation de l'ensemble des points $M (x; y)$ équidistants du point $F (0; 2)$ et de l'axe des abscisses. Quelle est la nature de cet ensemble ?

Corrigé

La distance de $M$ à l'axe est $∣ y ∣$ et $M F = x^{2} + (y - 2)^{2}$ . L'égalité $M F = ∣ y ∣$ donne $x^{2} + (y - 2)^{2} = y^{2}$ , soit $x^{2} - 4 y + 4 = 0$ , d'où $y = \frac{x ^{2} + 4}{4} = \frac{x ^{2}}{4} + 1$ : c'est une parabole.

<br> Pour $M (3; 3, 25)$ : $M F = 9 + 1, 2 5^{2} = 3, 25 = M H$ . Tous les points à égale distance de $F$ et de la directrice forment cette parabole.

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